图解期权2:delta和gamma

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首先回顾一下上一篇的主要结论：
（1）黑色区域是由“无数个无限窄的框组成的”。
（2）黑区面积（也就是所有窄框的面积之和），表示市场预期在期权到期的时刻T，标的价格落入对应区间（大于3100）的概率。
（3）每个窄框的面积，乘以各自对应的期权盈利，再求和，是期权的理论价格。

接下来进入正文。
1 标的价格变动引起的隐含分布的变动

仍然以执行价为3100的看涨期权为例。
如图，当标的价格从3000变动到3050的时候，隐含分布从蓝色变动成紫色。（红色线标示出期权执行价3100的位置。）

这个时候期权的理论价格会升高，将标的价格作为x轴，期权价格作为y轴，作图绘制出来。图中，当标的价格上升AB1距离的时候，期权价格上升B1C1距离。也就是“标的价格，期权价格”的组合点，从A点移动到了C1点。

接下来从分布的角度看一下B1C1中包含了什么。
2 delta

首先看到，当标的价格上升的时候，原本红色区域发生了平移。

标的价格变动之前，期权的理论价格为红区内所有窄框的面积乘以对应的期权盈利，也就是：

当价格平移以后，所有窄框也平移了，各个窄框对应的标的价格都增加了50，所以这些窄框面积乘以对应期权的盈利也增加了，从下面的公式可以看出，期权价格增加了标的变动价格50乘以红区的面积:

定义delta为：标的价格每增加1的情况下，期权价格的线性变化量。 在这里也就等于红区的面积。那么上面的公式就可以写成：

也就是下图中的B1D1距离

3 gamma

除了平移的红色区域以外，下图中黄色部分，是新增加的区域。

黄区面积可以看作原红区面积的增加量，也就是delta的增加量。把黄区面积除以标的的变化50,就是标的价格每增加1的情况下，delta的变化量，称为gamma。
从期权价格的变化来看，黄色区域中间无数的窄框，乘以对应的期权盈利，就是除了delta导致的期权价格增加之外，额外的期权价格增加量（gamma效应），对应下图中D1C1的距离。

4 标的价格进一步增加

当标的与期权的价格移动到C1点之后，假设标的的价格进一步上升50，达到3100。这个时候标的价格与期权价格组合达到C2点（下图）。

这里要注意的是，B2C2的距离要大于B1C1的距离，也就是期权价格上升的更多了，因此C1C2连线的斜率大于AC1连线的斜率。主要原因，是B2D2大于B1C1，为什么呢？
可以从分布的角度来解释。下方左图是标的价格从3000上升到3050时的情况，右图是标的价格进一步从3050上升到3100时的情况。可以看到，标的价格进一步移动之后，原本的黄区与红区形状不变。不过左图中黄区代表了第一次标的移动时的gamma效应，右图中的黄区面积此时是delta的一部分了（新delta=黄区面积+红区面积），右图中新增了橘黄色的区域则代表了新的gamma效应。

由于，左图红区面积=右图红区面积，所以:

上式显然小于0，因为左图黄区和右图黄区形状完全一样，且都可以看作无数个窄框组成。左图黄区的gamma效应等于每个窄框乘以对应期权盈利并加总，而每个窄框对应的期权盈利必小于标的移动的距离50，所以，左图黄区gamma效应<右图黄区面积*50 。因此:

5 期权价格与标的价格的关系

不断连续的移动标的价格，就能得到标的价格与看涨期权价格关系曲线（下图）。可以看到这条曲线是上凹的，也就是曲线的斜率随着标的价格上升不断增加，原因已在第4部分说明。

图中标注了A、B、C三个点，下面可以从分布的角度来看，这三个点对应的delta和gamma的情况。下图从左至右，依次对应了A、B、C三个点的分布情况，简单的从对应面积大小就可以看出，随着标的价格上升，delta不断增加。而gamma则是先由小变大，再由大变小，当标的价格等于期权执行价的时候，期权的gamma最大。

将delta和gamma也绘制成连续图，就如下图。横轴都是标的的价格，黑色线是看涨期权价格曲线，红色线是delta值曲线，黄色线是gamma值曲线。

6 拾遗

6.1 看跌期权的delta为负值，gamma为正值。

下图是标的价格上升的时候，看跌期权分布上的情况。

首先绿色区域平移影响期权价格（delta效应），对于看跌期权来说，当标的价格上升的时候，期权盈利是减少的（绿区中所有窄框都右移，每个窄框对应的期权盈利都减小），所以看跌期权价格下降。delta的定义是：标的价格每增加1的情况下，期权价格的线性变化量。因此delta为负值（delta绝对值仍然等于绿区的面积）。
其次，绿色区域平移之后，黄色面积将从绿色面积中扣除，因此看跌期权delta的绝对值减小。由于delta为负值，绝对值减小意味着delta值增大。gamma的定义是：标的价格每增加1的情况下，delta的变化量，因此gamma为正。
6.2 delta的绝对值即市场预期期权被执行的概率。

已知下图中红区面积是delta，而由概率密度函数的定义所知，红区内的无数个窄框的面积等于市场预到期期标的价格落入这个区间的概率。大于执行价3100的所有窄框的面积加总，就是红区面积，也就等于市场预期到期标的价格大于执行价的概率。

6.3 同一执行价的看涨和看跌期权，当它们的隐含波动率相等的时候，它们delta绝对值之和等于1。

隐含波动率相等，说明看涨期权和看跌期权有相同的隐含概率分布，执行价相等，说明两者被行权区域刚好是互补的，面积之和等于整个概率分布下方的面积（看跌期权的delta是负数，它的绝对值等于绿区面积）。所有可能性全部加总（概率密度函数下方所有窄框面积加总）的概率就是1。

6.4 同一执行价的看涨和看跌期权，当他们的隐含波动率相等的时候，他们gamma值相等。

下图黄色区域的面积，除以标的价格增加的数值，等于gamma。当标的价格上升的时候，黄区面积既代表着红区面积（看涨期权delta）的增加量，又代表绿色面积（看跌期权delta的绝对值）的减少量。因此，看涨期权delta的增加量等于看跌期权delta绝对值的减少量。所以看涨期权的gamma和看跌期权的gamma相等，都为黄区面积除以标的价格的增加量。

6.5 gamma精确度

文中都假设标的移动一个显著的距离50，由此计算出来的gamma（黄区面积除以标的移动距离）是一个不绝对精确的值。标的移动越小，计算出来的gamma越精确。
（完）