[Baaquie 2018] 5.8 Black-Scholes期权价格

一旦算出了定价核，期权的价格也就能通过Gauss积分得到了。由于广泛使用，我们具体给出看涨期权价格的推导，由，这是

定义，取，代入定价核，得到

其中，正态随机变量的累积分布定义为

这就是著名的Black-Scholes期权定价公式[Hull（2000）]，它仍然是衍生工具和一般的金融工程的基石之一。
5.8.1 隐含波动率
不幸的是，Black-Scholes公式并未给出股票等工具的期权的准确价格。这是因为，期权价格中的波动率参数有待确定。将它取为标的证券的历史波动率

从市场数据很容易知道，这种取法是错的。
期权的市场价格，记作，基于交易员对标的证券未来走势的看法。Black-Scholes公式中的波动率参数，要调整以给出期权的市场价格，调整后的称为隐含波动率，它依赖于行使价，离到期日的时间，和日历时间，记作。期权的市场价格是

换句话说，给定了隐含波动率，在市场上就可用Black-Scholes方程表示期权价格。Black-Scholes方程不是用来预测期权的市场价格的。
需要用隐含波动率得到期权价格这点，说明Black-Scholes定价公式中没有足够的信息来描述市场上交易的期权的价格。一种原因是，给定时间的期权价格不应当只依赖于标的证券的价格本身，还依赖于它的变动速度。
接下来作者用到了自己提出的模型的结果，这在第4章介绍，我们回过去。