赫尔《期权、期货及其他衍生产品》笔记第13章二叉树

赫尔《期权、期货及其他衍生产品》笔记

第13章二叉树

13.1 一步二叉树模型与无套利方法

假设在市场上没有套利机会。
一般来讲，对于每份卖出的期权，我们都要买入份股票来构成无风险投资组合。
13.1.1 推广

假定股票的价格为，股票期权（或以股票为标的的任何衍生产品）当前的价格为f。假定期权的期限为T，在期权有效期内，股票价格由或者会上涨到，或者会下跌到，其中。当股票价格上涨时，增长的比率为。当股票下跌时，下跌的比率为。假设股票价格变到时相应的期权价格为，而股票价格变为时期权价格为。

考虑一个由单位股票的多头与一份期权的空头所组成的投资组合。我们可以找到一个使投资组合没有任何风险的：如果股票价格上涨，在期权到期时投资组合的价值为

如果股票价格下跌，组合的价值为

令以上两个值相等，即

我们得出

表明，为时间T时期权价格变化与股票价格变化的比率。这时投资组合是无风险的。因为没有套利机会，其收益率必须等于无风险利率。
如果我们将无风险利率记为r，那么投资足额和的现值为

而构造投资组合的起始成本为

所以

即

其中

当股票价格由一步二叉树给出时，可以用来对期权进行定价。这个公式需要的唯一假设是在市场上没有套利机会。
13.1.2 股票收益期望的无关性

期权定价公式中没有涉及股票价格上涨或下跌的概率。
我们是根据股票的价格来计算期权的价格，未来股票价格上涨与下跌的概率已经反映在它的价格之中。因此，当根据股票价格对期权定价时，我们无须考虑股票上涨与下跌的概率
13.2 风险中性定价

风险中性定价（risk-neutral valuation）：对衍生产品定价时，我们可以假设投资者是风险中性（risik-neutral）。这个假设是指投资的风险增长时投资人并不需要额外的预期回报率。所有投资者都是风险中性的世界叫作风险中性世界（risk-neutral world）。
当我们用标的资产的价格对期权定价时，投资人对风险的态度是不重要的。当投资人对风险更加厌恶时，股票价格将会下跌，但是将期权价格与股票价格联系起来的公式是不变的。
风险中性世界的两个特点可以简化对衍生产品的定价：
（1）股票（或任何投资）的收益率期望等于无风险利率。
（2）用于对期权（或其他证券）的收益期望贴现的利率等于无风险利率。
定价公式中，参数p应当理解为在风险中性世界里股票价格上涨的概率，而是在这个世界里股票价格下跌的概率。表达式

则是期权在到期日的收益在风险中性世界里的期望值，因而定价公式可以表达为期权今天的价值等于将其收益在风险中性世界里期望值以无风险利率贴现所得的现值。
当上涨概率为p时，股票价格在时间T的收益期望为

带入p公式，我们得出

以上公式说明股票价格上涨概率为p时，股票价格以无风险利率的平均速度增长。
当我们假设世界是风险中性时，得到的价格不但在风险中性世界里是正确的，在所有世界里也都是正确的。
在利用风险中性方法为衍生产品定价时，我们首先计算在风险中性世界里各种不同结果反生的概率，然后由此计算衍生产品的收益期望值。衍生产品的价格等于这个期望值在无风险利率下的现值。
13.2.1 再论一步二叉树

在风险中性世界里，股票的收益率期望一定等于无风险利率，这意味着p必须满足

13.2.2 现实世界与风险中性世界的区别

我们应当强调的是p为风险中性世界里股票价格上涨的概率。一般来讲，这一概率与现实世界里股票价格上涨的概率是不同的。
13.3 两步二叉树

推广

初始股票价格为。在二叉树上的每一步，股票价格或者上涨到初始价值的u倍，或者下跌到初始价值的d倍，期权价值现实在树上（例如，在股票价格上涨两次后，期权价值为）。我们假定无风险利率为r，二叉树的步长为年。

因为步长为，

重复应用，我们得出

我们得出

以上结论与前面提到的风险中性定价理论是一致的。变量，和分别对应于股票价格取上、中、下三个节点上值的概率。期权价格等于其在风险中性世界里的收益期望值以无风险利率进行贴现后所得的现值。
当我们在树上引入更多的步数时，风险中性定价原理仍然成立，期权价格仍然等于其收益在风险中性世界里的期望以无风险利率贴现后的现值。
13.4 看跌期权例子

既可以用于对看涨期权定价也可以用于对看跌期权定价。
13.5 美式期权

二叉树对美式期权进行定价，定价过程是从树的末尾出发以倒推的形式推算到树的起始点，在树的每一个节点上我们都需要检验提前行使期权是否为最优。在树的最后节点上期权的价格等于欧式期权的价格，之前任何一个节点上期权的价格等于以下两个数量的最大值：
（1）由定价公式所计算的值；
（2）提前行使期权的收益。
13.6 Delta

一个股票期权的Delta（）为期权价格变化同标的股票价格变化之间的比率，它是当我们卖出一份期权时，为了构造无风险组合而需要持有的标的股票数量。构造无风险投资组合有时也被称为Delta对冲（delta hedging）。看涨期权的Delta为正，而看跌期权的Delta为负。
Delta的值随着时间变化。因此，采用期权和股票进行无风险对冲时我们需要不断调整所持有股票的数量。
13.7 选取u和d使二叉树与波动率吻合

参数u和d的选取要确保波动率的吻合。股票（或任何资产）价格波动率的定义是使得为股票价格在一个长度为的时间区间上收益的标准差。于此等价，回报的方差为。在每一个步长为的区间内，股票回报率等于的概率为p，回报率等于的概率为。将二叉树波动率与股票波动率进行匹配，得出

将p的概率表达是代入以上方程并进行简化，得出

当忽略和的更高级项后，这个方程的解为

如果我们选择在真实世界来匹配波动率，这样做所得结果是一样的。
格萨诺夫定理

格萨诺夫定理（Girsanoy&#39;s Theorem），当我们从现实世界转换到风险中性世界时，股票价格的收益期望值将会变化，但它的波动率保持不变。一般来讲，当我们从具有一组风险偏好的世界转换到另一组风险偏好的世界时，变量的收益率期望值会变化，但其波动率却保持不变。有时也将从一组风险偏好转换到另一组风险偏好的做法称为测度变换（changing the measures）。现实世界的测度有时被称作P-测度（P-measure），而风险中性世界的测度被称为Q-测度（Q-measure）。
13.8 二叉树公式

当二叉树上的步长为时，为了与波动率相吻合，我们取

且

其中，定义了二叉树。
13.9 增加二叉树的步数

在实际应用二叉树时，期权的期限通常会被分割为30个或更多的时间步。在每一个时间步里，股票价格的变动由一个一步二叉树来表达。在30个时间步中，总共有31个终端股票价格，并且有，即大约10亿种可能的股票价格路径。
在利用二叉树对欧式期权定价时，当步数增加时，多得价格将会收敛到布莱克-斯科尔斯-莫顿价格。
13.10 使用DerivaGem软件

DerivaGem 3.00
13.11 其他标的资产上的期权

13.11.1 支付连续股息收益率股票的期权

在风险中性世界里股息加上资产收益（eapital gain）的总和等于r，股息收益为q，因此资本收益率为。如果股票在今天的价格为，步长为，第一步后股票的期望值必须为，因此

即

与计算无股息股票期权类似，我们将u设为，以便使树形与波动率相吻合。
13.11.2 股指期权

假设股指中的标的股票所支付的股息收益率为q。对于股指期权定价类似于对支付已知连续股息率的股票期权定价。
13.11.3 货币期权

外汇可以被视为提供收益率等于外币无风险利率的资产。同股指相比较，我们可以采用二叉树并令来对货币期权进行定价。
13.11.4 期货期权

进入期货合约的多头或空头时投资者无须支付任何费用。这说明在风险中性世界里期货价格的增长率为0。同上，我们定义p为期货价格上涨的概率，u为价格上涨的比例，d为价格下跌的比例。在开始时期货价格为。在第1步时间后，期权价格的期望值仍然应当是。这意味着

即

我们可利用二叉树以及来对期权进行定价。

赫尔《期权、期货及其他衍生产品》笔记 第13章 二叉树

赫尔《期权、期货及其他衍生产品》笔记第13章二叉树