简单聊聊Heston Model

这两天知乎上看了一些讲Heston模型的，基本都只说了说模型的SDE的假设已经最后的解析解，有的连SDE都讲错了，所以我今天来说说我对这个模型的理解。理解有误的地方还请猫哥 @黑猫Q形态和西格玛 @二点三西格玛两位前辈指出。
Heston在1993年在传统的BS模型上引入了随机波动率的模型，假设underlying的波动不是常数，而是一个有随机性的均值复归的过程，这个过程包含一个波动率的长期均值，以及这个波动率的一个复归速率，如果先前的波动率低于长期均值，那么模型可以按照一定速率向上调整。波动率的这一现象在金融资产中很普遍，基本上随便找一个，plot出return的时间序列，都能看出，也有大量文章研究，这里就不细说了。
我们这里说一下Heson模型下的欧式期权定价。Heston假设了Physical Measure下面的SDE，und的过程就是BS模型下的und过程，波动率是个均值复归的平方根过程，以及两个具有相关性的布朗运动，一般来说相关性为负。und和其vol的关系很多学术文章去研究，也不细说了，找个统计软件plot下，也可以看出来，一般为负相关。是调整速率，是长期均值水平，是波动率的波动。

当然，波动率不可能为负，所以为了保证这一条件，有一个条件需要满足，叫Feller condition：

这个我没有推导过，反正就是需要满足这个条件，哈哈哈哈哈，这个条件在最后参数校准中需要用到。
当然，定价需要保证无套利，那么我们就需要将Physical Measure下的SDE转换到 Equivalent Martingale Measure下，在这里的话也就是风险中性。当然，我们知道怎么把BS模型中的und过程转到风险中性下，就是引入夏普比率，或者可以叫market price of risk，进行风险调整：

那么对于vol的过程也需要进行风险调整。

我试着想找出为啥这里是，很多paper里也没有细说，就说了heston指出，balabalabala。但是二者都可被表示对于风险的补偿，所以我个人觉得这里可以用Utility函数解释，在Utility函数中，代表risk aversion，是对于新增风险，效用的下降程度，貌似可以叫risk premium of volatility。那么我们现在就得到了两个风险中性下的SDE。两个风险中性下布朗运动的相关性依然是上面的关系，这个很容易推导出。
这两个randomness可以通过构建delta-vega组合对冲掉，也就是通过und和可交易的另一个期权。如果我们对进行It公式展开，然后再将上面的SDE带入，那么可以得到Heston PDE（这个还有另一种推到方式，我记不清了，好像是通过构建两个期权）:

我们知道，期权的价格是未来payoff的折现，那么可以得到：

现在的问题就转换成了如何计算和，这两个累积行权概率上了（我不知道是不是可以这样叫，因为在BS中，只有才是的概率）。如果满足Heston PDE，那么既然是和的线性组合，那么它们也应该满足Heston PDE，所以经过令 ,在经过一系列的整理，替换变量，整理，可以得到：

对于

但是这玩意要怎么求？我们知道，一个随机变量的PDF与其特征方程是一一对应的，PDF通过Fourier变换可以得到其特征方程，特征方程通过Fourier Inversion定理可以得到PDF（CDF也是可以得到的）。那么一个随机变量的一般特征方程是啥？长这样：

CDF和特征方程的关系是啥？是这样：

这个可以从傅里叶级数，推到傅里叶变换，再推过来，如果了解傅里叶变换，以及CDF和PDF的关系，这个不难推导。是取实部，我还见过取虚部的，长得和这个差得不太多，有兴趣的可以自己查查。
然后特征方程和的关系出来了，那么特征方程具体应该是啥样？我们能看到，前面两个SED的结构是不是有规律？

是不是有点像仿射的结构？仿射是啥可以百度百度，所以不难看是为啥Heston为啥假设其特征方程是指数仿射的结构，Exponential Affine 是不是这么翻译啊？真是服了，我再怎么想，也想不到是这种结构。所以，最终的特征方程应该长这样：

那么特征方程也一定满足Heston PDE，因为其实它和是同一个东西，只不过是通过傅里叶变换得来的在频域上的。然后把带到PDE里去，整理，提取公共变量，再把它的系数设为0，因为要消除随机性，那么作为波动，肯定是不想要的。这样可以得到两个ODE，initial condition ，因为，在时刻，Everything is Known，当然，指的是，所以大时刻的特征方程是这样：

那么我们经过整理后得到的两个ODE是：

第一个方程的形式是Riccati方程的形式，是一种一阶非线性ODE，这样的形式：

这个方程有通解，将其转换成二阶线性ODE，对于非数学系的我来说，推着挺恶心，通解的形式是：

第二个方程就是普通的一阶线性ODE，用分离变量去解，需要点耐心，过程挺长的，不细写了。最后解出来的结果就是我们看到的：

这就是Heston模型的解析解的大概推导过程，然后再进行参数校准，就可以用了。

期权匿名回答 · 2022-1-1 22:44:34

riccati这个解是拟设解析解，对rho有很强的要求，所以一般不用来定价。

期权匿名回答 · 2022-1-1 22:44:58

写得挺好的，当年我研究生学这个模型的时候，Heston （1993）论文被我老师点评是金融领域里面偏数学的论文里面写得最好的之一。这个论文数学逻辑很清晰很漂亮（先猜期权价格的解得形式，得到P1和P2，然后将他们和特征函数联系起来）。所以研究Heston模型，至少在理论推导层面根本不用看后人的提炼。这点和很多别的模型很不一样。

关于这个market price of risk, lambda得到的方法有很多。一种办法就是用BS模型的思路，构建delta，vega中性的组合通过标的对冲delta和另一个期权对冲vega风险来实现。因为这里只有一个风险基础资产：而不确定性确有两个dW1和dW2，市场不完备一定会有lambda出现。这个从经济层面也能得到，Heston提到因为variance 服从CIR过程因此market price of risk可以直接借用CIR 1985 paper的形式，但是其实这个是可以直接从Heston模型本身导出来的。现实当中这个参数和theta是直接可以用volatility的term structure直接定出来的，类似利率里面的Vasicek或者Hull White 模型的lambda和theta可以用初始的yield curve定出来一样。

期权匿名回答 · 2022-1-1 22:45:42

题主，小菜鸡很不好意思的问下，p1.p2满足的pde是怎么导出来的，为什么我变量替换了结果完全不是

期权匿名回答 · 2022-1-1 22:45:58

https://www.cnblogs.com/xuruilong100/p/14185057.html刚好写过，从感性上认识 Heston 模型

简单聊聊Heston Model

4 个回复