从“拍脑袋”到建模型-资产价格波动率的“预测之道”

5月以来全球投资者都感受到了金融市场波动率再度放大的冲击。

我们已经介绍过历史上一些可以导致波动率飙升的事件。虽然其预测难度各不相同，有的事件预测起来确实困难重重，但并不妨碍研究者与投资者孜孜不倦地去探索波动率预测的方法。

我们接下来会简单介绍波动率的概念、分类及其预测思路。
资产价格波动率的主要类型及相互关系
波动率是在一个时间范围内，对资产价格变动剧烈程度的统计。比较常见的对波动率的度量主要有4种类型: 真实波动率、历史波动率、预测波动率、隐含波动率。
真实波动率
真实波动率又称“未来波动率”，它是对标的资产投资回报率波动程度的度量，是其内在属性。由于资产未来的投资回报率是不确定的，真实波动率永远是一个未知数，即真实波动率是无法事先精确计算的，人们只能通过各种办法得到它的估计值。
历史波动率
历史波动率是指标的资产回报率在过去一段时间内所表现出的波动率。它可以用标的资产价格过去一段时间的历史数据计算。历史波动率是基于过去的统计分析得出的，类似于估计标的资产收益序列的标准差。在设计模型时，简单起见，我们一般可以假定未来是过去的延伸。如果真实波动率是一个常数，它不随时间的推移而变化，而历史波动率则可视为通过分析一段历史数据对真实波动率的一个统计描述，其随着取样时间不同可以不断变化。
在真格量化中，历史波动率可以这样计算：

预测波动率
预测波动率又称为预期波动率，它是指运用统计方法方法对真实波动率做出的预测。投资者可以将其应用于期权定价模型，来计算期权的理论价值。量化研究员在讨论期权定价问题时所谈论的“模型波动率”一般指预测波动率。一般来说，预测波动率并不等于历史波动率，预测波动率是投资者对实际波动率的理解和认识，而历史波动率一般作为这个预测模型的一个重要输入变量。当然，对实际波动率的预测也可能来自经验判断，比如很多富有经验的期权交易员在电光石火间的“拍脑袋预测”。他们也许并没有建立数学模型，但可以借助积累的经验和盘感来对波动率的走向做出迅速判断。

隐含波动率
隐含波动率是指投资者在进行期权交易时对真实波动率的“市场定价”，是一个由群体博弈形成的“预测”。借助计算机程序，要获得隐含波动率并不困难。由于期权定价模型（比如BS模型）给出了期权价格与五个基本参数（St、X、r、T-t和σ）之间的定量关系，只要将其中前4个基本参数及期权的实际市场价格作为已知量代入期权定价模型反推，就可以从中解出唯一的未知量σ，其数值就是隐含波动率。
在真格量化中，隐含波动率可以这样计算：

在交易实践中，真实波动率和隐含波动率是波动率交易的关键指标，真实波动率常常用预测波动率代替，一般可根据历史波动率建模计算预测波动率。但更好的方法是用定量分析与定性分析相结合的方法，历史波动率只是模型变量之一，还需要输入其他数据（例如季节性、市场情绪等等）并结合不断变动的市场价格，来动态调整参数，得出预测波动率。

在实践中，期权的市场价格不仅反映了对真实波动率的定价，同时也反映了市场的供需关系、资金进出的冲击等其他因素，会经常与真实波动率、历史波动率或预测波动率产生偏差，带来大量交易机会。
期权波动率的度量方法
如果投资者愿意自行编码计算，历史波动率的计算步骤一般是根据资产价格时间序列数据，计算出相应的回报率序列，然后计算回报率的标准差并进行年化处理，从而得到历史波动率计算结果。
1.资产价格时间序列数据处理
在处理资产回报率时间序列数据时，一般有两个方法:百分比价格变动法和对数价格变动法。
百分比价格变动法(即价格的环比增长速度)计算公式为:

其中，Xi是资产的百分比收益，Pi是基期资产的价格，Pi + 1是报告期资产的价格。
对数价格变动法计算公式为:

其中，Xi是资产的对数收益，Pi是基期资产的价格，Pi+1是报告期资产的价格。
值得注意的是，上述两个公式的假定不一样，百分比收益公式假定为固定的不连续间隔价格变化，而对数收益公式假定价格是连续的变化。在BS模型中，假定价格变动是连续的。所以，在计算历史波动率时我们一般采用对数收益公式。
2.度量波动率常见方法
度量波动率的方法有很多，比较常见的是标准方差波动率、Parkinson估计量、Garman-Klass估计量和Yang-Zhang估计量。
波动率可以通过回报率的标准差来计算，具体计算为对资产的一系列对数收益率取其平均数，然后根据下面公式得到回报率的标准差。

这里，N是观察值的数量， σ代表对数收益的标准差。若将日、周等标准差转化为年标准差，需要乘以以年为单位的频数长度的平方根。如我们一般定市场一年有252个交易日，则年化波动率为：

除了上述方法，Parkinson估计量、Garman-Klass估计量和Yang-Zhang估计量等估计方法都是在标准方差波动率基础上进行了一定的改进。
Parkinson(1980)估计量采用了交易时段最高价和最低价两个价格数据，利用极差进行估计，该估计量只需要较少的时间周期就可以收敛于真实波动率。该估计量可以使价格波动区间在一定假设下比基于收盘价的估计量更能有效地估计回报波动率。
Garman-Klass（1980）利用了交易时段最高价、最低价和收盘价三个价格数据进行估计，该估计量通过将估计量除以调整因子来纠正存在的偏差，以便得到方差的无偏估计。但Garman-Klass（1980）估计量无法解决价格序列中存在跳空开盘的情况。
Yang-Zhang（2000）推导出了适用于价格跳空开盘的估计量，本质上是各种估计量的加权平均。
上述讨论的几种波动率估计量，每类估计量都试图部分克服另一类估计量的不足。但值得注意的是，在仿真和实际环境下进行测试表明，没有任何迹象显示哪一个估计量是最好的，因为所有的度量方法都基于有限的信息量。如果Parkinson波动率是50%，而标准方差波动率只有20%，至少可以认为真实波动率绝大部分是由较大的日内极差造成的，在制定策略时，可以根据策略性质来选择最合适的历史波动率计算方式。
预测波动率的常用模型
如同预测资产价格的模型，预测波动率的模型也五花八门。常见的模型有滑动窗口法、加权移动平均（EWMA）模型和广义自回归条件异方差（GARCH）模型。
1.滑动窗口法
滑动窗口法假设未来N天的波动率水平和过去N天的相同。因此只要我们估计出过去的历史波动率，就可以把历史波动率当作未来的预测波动率。但这种预测方法存在一个明显的问题，就是资产价格大幅变动的影响会在波动率估计量的序列保持一段时间后突然消失（移到了取样本的窗口外），使得对波动率的预测存在较大的偏差。
2.指数加权移动平均（EWMA）模型
指数加权移动平均模型通过对最近一期的收益率的方差与前N期的方差进行加权平均，得到加权方差。这种方法简单易用，便于理解，但不够灵敏。如果某一事件确实是异常事件，那么在预测未来波动率时，最好将这个异常数据删除，但指数加权移动模型假设事件的影响力呈指数式递减，其实只是将这一问题简单回避掉了。
此外，该模型没有考虑最近的波动率估计量所处的市场环境，如指数加权移动模型不能很好解释高波动率后往往是低波动率的现象，会出现对连续数天的预测波动率值都是一样的情况，这与实际情况也不相符。
3.广义自回归条件异方差（GARCH）模型
基于时间序列分析方法的广义自回归条件异方差（GARCH）模型族引入了预期回复的长期平均方差水平项，解决了EWMA无法解释波动率均值回归的问题。在实际期权交易中，常常用GARCH(1,1)模型预测波动率，该模型能够捕获一些方差随时间演变的因素，而且该模型能被大量简单的基于市场微观结构的论据所支持。
GARCH模型也存在一定的不足，如该模型不能解释资产收益和收益变化波动之间出现的负相关现象。GARCH(p,q)模型假定条件方差是滞后残差平方的函数，因此，残差的符号不影响波动。
但在实际交易和实证研究中发现，当利空消息出现时，即预期资产收益会下降时，波动率趋向增大；当利好消息出现，资产价格上涨时，波动率趋向减少。GARCH(p,q)模型不能解释该现象。此外，由于GARCH模型中正的和负的对冲对条件方差的影响是对称的，GARCH模型不能体现收益率条件方差波动的非对称性。
通过上述介绍，我们认为没有哪一种预测方法是万能的，具体使用哪一种方法依赖于具体的市场环境。比如在判断目前市场的波动率是否处于极端水平并即将回归时，不仅需要参照统计数据，还需要综合考虑整个市场所处的阶段。模型的设计更像一门艺术。对于预测目标、数据样本和预测方法的选择往往需要依靠经验和判断力。在适当的市场环境中，一些方法的效果要好于其他方法。我们在设计和使用各种波动率定价模型时，也应当了解其局限性与各自的优势，并注意控制模型与实际产生偏差时的风险。
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