空间正交基的定义_标准正交基

本节主要接受欧氏空间中标准正交基的确定，这一块是考研中比较容易得分的一个版块，但是大家要注意的是一个失分点，大家容易忽略如何去确定标准正交基，所以大家一定要注意基础定义的熟练掌握，切勿眼高手低，多去记忆基础定义，考试遇到题目的时候，能够快速得分.

定义1.欧式空间V中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组.

岩宝小提示：正交向量组是线性无关的. 事实上，设正交向量组

有一线性关系

用

与等式两边作内积，即得

由

有

从而

以上结果也说明了在n维欧氏空间中，两两正交的非零向量不能超过n个，这个事实的几何意义是清楚的.例如在平面上找不到三个两两垂直的的非零向量；在空间中，找不到四个两两垂直的非零向量.

定义2.在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基.

定义3. n级实数矩阵A称为正交矩阵，如果AA'=E.

定理1. n维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基.

证明：设

是一正交向量组，我们对n-m作数学归纳法.

当 n-m=0 时 ,

就是一组正交基了.

假设 n-m=k 时,也就是说，可以找到向量

使得

成为一组正交基.

现在看 n-m=k+1 的情形. 因为

,所以一定有向量

不能被

线性表出，作向量

这里

是待定的系数. 用

和

作内积，得

取

有

由

的选择可知 ,

因此

是一正交向量组，根据归纳法假定,

可以扩充成一正交基.

定理2. 对于n维欧氏空间中任意一组基

可以找到一组标准正交基

使

证明：设

是一组基，我们来逐个地求出向量

首先，可取

一般地，假定已经求出

它们是单位正交的，具有性质

下一步求

.

因为

所以

不能被

线性表出.

按照定理1证明的方法，作向量

显然有

令

就是一单位正交向量组. 同时

由归纳原理，定理2得证.

岩宝小提示：定理2中要求

就相当于由基

到基

的过渡矩阵是上三角形的.

例1.把

变成单位正交的向量组.

证明：先把它们正交化，得

再单位化，得

例2.在2级实矩阵构成的线性空间
中定义

其中A,B是任意2级实矩阵.

（1）证明如上定义
是线性空间

上的内积.

（2）设W是由矩阵
生成的子空间，求

的一组标准正交基.

（3）举例说明定义
不构成内积.

证明：（1）
（i）

（ii）

（iii）任取

即有

（iv）

当且仅当 A=O 时

即

是线性空间

上的内积.

（2）对任意的

我们设

则

即

于是

即

所以

现在记

易知

是线性无关的（岩宝提示：如果不放心可以按照线性无关的定义进行验证），从而

现在对于

进行施密特正交化，变为标准正交基：

首先,

所以

是一个单位向量.接下来由施密特正交化有

而

对

进行单位化可得

(3) 例如取

这时

但是

这与内积的正定性矛盾.

岩宝同步思考练习

1.在

中定义内积为

求

的一组标准正交基（由基

出发做正交化）.

2.在欧氏空间

中，定义内积为

设W是所有n级实对称矩阵组成的线性子空间，求

和

的一组标准正交基.

3.设A为n阶实对称正定矩阵,

为

维欧氏空间

( 标准度量 )中的n+1个向量，若已知

(1)

(2)

(3)

证明：

.

4.设A是一个实系数方阵，判断若A的行向量组两两正交，则它的列向量组也两两相交，是否正确，若正确请给出证明.不正确请给出反例.