i 的平方为什么等于 -1？

i的平方等于负数，即-1，-2，-3，-4……我的问题是为什么它的平方是负数？或者是怎么算出来的。我现在所知道的解释是因为数的平方有正数，所以数的平方也会有负数，有正就会有负。或者这是人为规定！是为了应用，可是为什么要这样规定？没得到答案。感觉不太满足，能不能求大神尽量通俗易懂的解释一下是怎么来的，或者验证一下它是存在的。
ps：我是文科生，尽量不要用大多的术语。多谢！！！！

有关回应 · 2021-5-14 21:33:14

谢邀.
首先建议题主先看一下复数的维基百科复数 (数学)中的历史部分。
中文的感觉写的不是很详细，有能力可以看一下英文的Complex number其中的history部分。
wiki上说，复数的起源是三次方程求根公式，这个就不搬运和多解释了，如果题主看不懂再议。

下面说一点自己的理解，换个例子解释一下为什么一定要假想一个平方等于-1的数.这些并不是历史，只是个人理解.
虽然题主是文科生，但是想必也是学过数列的吧.那么对于大名鼎鼎的斐波纳契数列应该并不陌生.这个数列是：

斐波纳契数列有很多直观解释，比如大兔子生小兔子什么的……在此不多赘述。
那么我们就很想知道，这个数列的通项公式是什么.显然这个数列不是简单的等差数列或者等比数列.
现在，我们考虑一种更一般的数列：

为了求解通项公式，我们考虑这样一个二次方程：
如果这个方程有两个不等的实根
，那么根据韦达定理，有
.
这个文科生也应该学过吧，别跟我说你都还给老师了……
那么对递推公式变形，两边同减去
，就有

这个式子说明，
是公比为
的等比数列.这是一个非常好的性质，这也就是一开始为什么要考虑那个二次方程的两根的原因.
因此，就会有等式

其中常数A待定
同理，如果两边同减去
，就会得到另一个等比数列，因此就会得到下面的等式

其中常数B待定
两式相减，就可以把
解出来，即

，其中
是两个待定常数.
现在只用了递推公式这一个信息，还有初值没有用呢.而初值有两个，两个方程两个未知数，恰好能把
确定下来，因此整个的通项公式就确定了.

这个方法称为特征根法或者特征方程法，二次方程
就叫做这个数列的特征方程，而两个根
就叫做特征根.

现在可以回头来看斐波那契数列，对应的特征方程是
，特征根就可以用二次方程的求根公式解出来，即
.
利用上面的方法，就可以得到斐波那契数列的通项公式，

这个公式叫做Binet公式.虽然数列每一项都是整数，但是最后的表达式却带有无理数，还是很神奇的.

现在我们回头来看特征方程
，如果方程有两个不等实根的话，那么这种数列我们已经完全解决了.那么什么时候有两个不等实根呢？判别式.
若
，方程恰有两个不等实根.
若
，方程有两个相等的实根，这种情况留作习题.

现在我们来看
的情况，形式上，我们也可以写方程的两根，分别是

当然，题主肯定会问，哪里会有根号下负数呢？这个是不成立的.
虽然根号下负数不对，但是数列还是在啊.比如说我们考虑这样一个数列：

这个数列是可以写出来的：

但是通项公式却没办法按照上面的方法来求.但是不要在意这些细节，先求求看.
按照求根公式，解出来的两个根是
.
并且假设这种带
的数的运算和实数的运算是差不多的，那么上面的推导依旧成立.
因此，就有

解方程得到
，（乘方别想太多，就按照实数来算），因此

这就是通项公式了.
也就是说，本质上还是在求根的过程中碰到了对负数开根号，但是这个事情又没办法避免，所以先试探着能不能带着
去运算，然后就得到了所谓的复数.

当然，后来慢慢发现复数有各种各样的好的性质，还有全纯函数，黎曼面，复流形这些东西，以及复数在物理上面一大堆的应用，那就是后话了.

有关回应 · 2021-5-14 21:33:15

我一直以为这是规定吧

有关回应 · 2021-5-14 21:33:16

王筝同学的回答已经非常全面了，我就补充一下。复数最早是由于方程求根的问题而产生的。但是在产生之后数学家们发现其实复数的用处不仅仅限于表示方程的根，在其他方面，比如三角函数或者是分析学方面也有很大的用处。最有名有欧拉公式
。顺便提一下，我们现在用来表示虚数的符号i也是欧拉最早开始使用的。现在，复数在复分析，应用数学，还有物理学方面应用广泛，具体的信息Wiki上面应该都有，这里就不再赘述。

最后提一下，数学上有一个代数基本定理，表述是这样的，任何一个非零的一元n次复系数多项式，都正好有n个复数根。你看，引入了复数之后，一次方程一根，二次方程两根，三次方程三根，这样的设定是不是很具有数学美感。

有关回应 · 2021-5-14 21:33:17

我记得是为了解决 -1 的平方根问题，才引入了 i

有关回应 · 2021-5-14 21:33:18

就是那么表示人们想要引入这么一个概念 i就是一个符号而已不用i你用￥ % 7（啥符号都行
是先有平方得负数的东西才给这个东西起个名字叫i 你因果弄反了

i 的平方为什么等于 -1？

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