其实多元函数极值的研究思路与一元函数的极值的研究思路完全相同。
1.一元函数的极值（以下讨论可导函数）
我们非常熟悉一元函数的极值问题，利用一元函数的导数与二阶导数来判断极值点的存在。导数为零的点我们称其驻点，驻点是极值点的可疑点，如果驻点两侧导数值异号，那它就是极值点。通常我们利用驻点处二阶导的正负来代替这的判断过程：如果驻点处二阶导大于零，此点为极小值点。二阶导小于零则为极大值点。等于零的话还要再去判断三阶导的正负。
2.多元函数的极值（以可微的二元函数为讨论对象）
二元函数偏导数，方向导数，梯度，可微的基本理解请看这篇文章
https://www.zhihu.com/question/36301367/answer/688053762
二元函数与一元函数不同点在于，二元函数自变量的灵活性远高于一元函数，一元函数自变量只能在x轴上变化，而二元函数的自变量是在整个xoy平面上变化的（假设定义在 ![]()
上）。
这使得二元函数极值点成立的条件更加苛刻。若 ![]()
是函数 ![]()
的极值点，意味着在P点的一个领域里（圆域）无论点M(x, y)以哪种方式，且无论从哪个方向趋近P点，P点都是极值点，这时P点才是这个二元函数的极值点。
![]()
这个问题看似很复杂，怎样才能验证在任何曲线，任何方向上P都是极值点呢？
一种重要的思想就是降维，怎样把二元的问题转化成一元问题，也就是人们创建方向导数的目的，我们让M(x, y) 以直线的方式逼近P点，让这样的直线覆盖P点的邻域。这样以任何方式，任何方向这个条件就可以弱化为：M在每一条这样的直线上变化时P点都是极值点。
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当自变量在在这样的直线上变时，有没有惊奇的发现，这完全与一元函数相同。自变量只在在这条直线上变化，二元函数变成了一元函数。而二元函数在这条直线方向上的方向导数其实就是这个一元函数的导数！
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至此我们就可以用一元函数极值的研究方法来研究二元函数。
3.推导过程
取定一个直线的方向： ![]()
点到M ![]()
![]()
这个方向上 ![]()
的方向导数：
![]()
（方向导数等于梯度在这个方向上的投影， ![]()
是L的单位向量）
根据上面所说的思路，在这个方向上二元函数变成了一元函数，这个方向上的偏导数为零的点就是这个方向上的驻点。
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![]()
![]()
（ ![]()
是所取直线与X正向夹角）
- 若对于任意T, U(T)恒为负值 需要：
![]()
此时 ![]()
P点为极大值点.
即 ![]()
- l 若对于任意T, U(T)恒为正值 需要：
![]()
此时 ![]()
P点为极小值点.
即 ![]()
- 若
![]()
则U（T）有正有负，说明P点在有的方向上是极大值，在有的方向上是极小值，因此P点不是 ![]()
的极值点。 - 若
![]()
则存在唯一 ![]()
,说明在 ![]()
对应的方向上二阶导数为零，P是不是极值点要再看三阶导的正负。
4.结语
通过以上的分析可以知道，这种公式的使用是有限制条件的，只能判断可微的二元函数的极值，并且二阶导还要不为零。明白这种思想和方法远比公式更有价值！
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