期权论坛

期权分为欧式期权和美式期权，其中美式期权由于可以在在期权合约规定的有效期内任何时候都可以行使权利，所以计算时就比欧式期权更加困难。对于FRM考生和金融专业同学来说，平时接触欧式期权比较多，今天可以尝试来了解一下美式期权的定价原理和算法。今天推荐Jiang的这篇文章，希望大家有所收获。

作者：Jiang
来源：Jiang的金融窝(QuantJiang）

今天的文章会比较technical，需要有一定的数学功底。但没办法，美式期权算是流动性高的期权中最难的一种。如果对原理篇没有明白，其实也不会很影响实际操作，有兴趣但又不能搞懂原理的朋友可以直接跳到算法部分。

1.寒暄篇

美式期权和传统欧式不同的地方在于，美式期权的持权人可以在到期日之前的任意时间行权。由于这种兴行权的灵活性，美式期权的价格总是大于或等于相对应欧式期权的价格的。在现实里，很多个股的期权都是美式，因此美式期权实际上拥有很大的市场。

很多人可能会认为，既然美式期权这么灵活，那么持权人只要在可以获得收益的时候行权不就可以了吗？这有点类似barrier嘛。那可就大错特错了。因为你如果是持权人，即使你的行权可以给你带来收益，你其实还可以选择不行权，而是把期权卖出去。你要对这两种方式的收益进行比较，如果行权带来的收益大，则行权，若卖出收益大，则卖出。因为某个时刻期权的价格其实就是在那个时刻期权本身的continuation value，我们在美式期权可以行权时，实际上就是在比较美式期权的continuation value（H_t）与strike value（E_t）。

2.原理篇

实际上，美式期权的定价公式由下式表示

其中N用来表达一个测度。之所以这里不用利率的discount factor是为了保证它更加general。

在实践中，我们往往需要用一个百慕大期权（只有在某些特定日期可以行权）去逼近一个美式期权，我们不妨就假设它只能在下述日期行权

因此，结合着最开始的式子，我们现在的美式期权价格就应该满足这个Bellman equation（dynamic programming principle）

其实也就是一个Backward Induction Algorithm（逆向递推算法）。而根据Dynamic programming，我们其实有最优行权时间就是

3.算法篇

根据上述原理，美式期权的定价和其他期权相类似，但区别在于要进行一个strike value和continuation value的比较。

举个例子，在GBM的setting下，美式call的PDE和terminal condition和欧式call是一模一样的，但不同之处在于在solve pde的过程中每一步都要比较一下节点上strike value和continuation value的大小。如果strike value更大，则在这点用strike value来替代原有的continuation value。这便是美式期权定价的PDE方法。但和传统PDE方法一样，这种方法对于高维度和强路径依赖问题比较鸡肋。

另外还有一种在业内更为广泛使用的定价方法，叫作最小二乘蒙特卡洛法（least square Monte Carlo，简称LSMC），也叫做regression-based Monte Carlo。这种方法的执行策略是这样：
1，正向模拟标的的路径，在terminal time求payoff value
2，往前返回一个时间节点，利用未来的discount value，用regression方法估算当前节点的continuation value；
3，比较当前节点的continuation value与strike value，取二者最大做期权在当前节点价格
4，重复2、3步骤直到初始节点。

很清楚的能发现，LSMC实际上就是把计算continuation value的期望用回归的方法得了出来。因此LSMC在业内被广泛的应用到nested Monte Carlo问题之中。

而且实际上，按照上述LSMC做出来的价格是有bias的。我们可以保留我们在LSMC中得到的在每个时间节点上的regreasion parameters，然后在重新模拟一次MC路径，然后利用这些regression parameters，在新MC路径里重新回归得到continuation value，然后再正向地search每条路径第一次strike value大于continuation value的时刻，然后将这些时刻上的折现期权价格求mean即可。之所以这么做，是因为LSMC在进行定价的同时，其实也通过这些regression parameters得到了这个期权的Optimal strike boundary。而我们第二次MC利用已经Optimal的boundary去search，可以有效的减少误差。

除这两种方法，还有二叉树方法（可以很直观的得到对冲策略的估算），stochastic mesh，以及一些通过人工神经网络的方法，我在这里不讲过多，只希望朋友们能有个大概了解。

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