随机过程stochasticprocesses泊松过程Poissonprocesses更新过程renewalprocesses布朗运动Brownianmotion仿射（跳跃）扩散过程affineprocesses(oraffine-jumpdiffusions)列维过程Levyprocesses连续状态分枝过程continuousstatebranchingprocesses随机微分方程stochasticdifferentialequations半鞅semimartingale偏微分方程partialdifferentialequations偏积分－微分方程partialintegro-differentialequations倒向随机微分方程backwardstochasticdifferentialequations二阶倒向随机微分方程secondorderbackwardstochasticdifferentialequations随机偏微分方程stochasticpartialdifferentialequations随机最优控制stochasticoptimalcontrol极值建模modelingofextremes风险度量riskmeasures蒙特卡洛模拟MonteCarlosimulation============StochasticProcesses============IntroductionandReferences『随机过程』(stochasticprocesses)是概率论的一个分支，一般来说是特指一个学科，而『蒙特卡洛』(MonteCarlo)是一种获得某种统计量、待求值或函数值的方法，二者不太具有明显的并列关系或者包含与被包含关系。随机过程从内容上来说大致有两类：第一种我称之为应用随机过程，也是大家一般所说的随机过程，内容包括几种具体的经典随机过程，例如：Poissonprocess，renewalprocess，discretetimeandcontinuoustimeMarkovchain，basicsofBrownianmotion，以及他们的应用，比如queuesystems等。相关的书籍有：Stochasticprocesses,SheldonRoss另外一本稍微高阶书的是CornellUniversity的“李登辉”教授(LeeTengHuiProfessor)、应用概率大牛SidneyResnick所著的Adventuresinstochasticprocesses第二种是指随机过程一般理论：一般包括概率论、随机过程的测度论基础(probabilityspace、convergencetheory、limittheory、martingaletheory等)，Markovprocess，stochasticintegral,stochasticdifferentialequations,semimartingaletheory（半鞅）尤其是后者等比较艰深的概念和问题（内容参考以下书籍）；其中入门的书籍有：StochasticcalculusforfinanceII,StevenShreveArbitragetheoryincontinuoustime,TomasBjork这两本是与金融交互讲的；另外一本稍微偏理论的随机分析入门书籍是：Stochasticdifferentialequations,BerntOksendal高阶数学研究生水平的书籍有：Stochasticintegralsanddifferentialequations,PhilipProtterBrownianmotionandstochasticcalculus,Karatzas,ShreveBrownianmotionandcontinuousmartingales,Revuz,YorLimittheoremsforstochasticprocesses,Jacod,Shiryayev一本比较艰深的讲套利数学的研究生读物（需要懂半鞅、泛函分析）：Mathematicsofarbitrage,Delbaen,Schachermayer，其中讲了不同模型设定下的的套利理论，包括离散模型，连续模型比如半鞅等过程驱动的市场对应的套利结论；utilitymaximization,convexduality等概念。当然，学习高级随机分析的书籍需要比较坚实的概率论基础，在此我推荐：Probability:theoryandexamples,RichardDurretRealanalysisandprobability,Dudley特别地，我强烈推荐两本我当作参考文献的概率论书籍。一下两本书全面介绍了概率论基本理论，非常适合已经有一定测度背景并且想继续深入学习随机分析的读者：Probabilitytheory:acomprehensivecourse,KlenkeFoundationsofmodernprobability,KallenbergOverview『数学金融』中涉及的随机过程应该主要涵盖上述第一类里的几乎所有内容和上述第二类里的stochasticintegrals,stochasticdifferentialequations(SDE)，semimartingale等，其中实务中最常用的是Itoprocess和Levyprocess；因为他们都有比较好的马尔可夫性(Markovianstructure)，根据Feynman-Kac等定理，所以又能与partialdifferentialequation和partialintegro-differentialequation联系起来。这也是期权定价的PDE方法。讲定价公式可以写成PDE的好处是可以使用现成的PDE数值方法。此外，Itoprocesses和Levyprocesses是特殊的semimartingale。用semimartingale做金融建模的好处有两点：1、semimartingale作为stochasticintegrator，是从一致度量(uniformmetric)下可料(predictable)被积过程所形成的空间到随机变量(topologizedbyconvergenceinprobability)所形成的空间的连续线性映射，这种性质对应于金融资产价格的稳健性，通俗地讲就是：如果你对投资策略施加一个小小的扰动，最后投资组合的价值在某种意义下也会只有相应较小的扰动。因此用semimartingale模拟金融价格是合理的。2、semimartingale组成的空间在Emerytopology(metrizable)下是完备的；这个性质加上一个比较符合经济逻辑的无套利假设(Nofreelunchwithvanishingrisk,NFLVR)，可以推出存在sigma-martingalemeasure，反之亦然；这是目前最广义的套利定价理论，它的特殊形式是：1、在离散模型中，无套利等价于存在等价鞅测度，2、在Itoprocesses中，NFLVR等价于存在等价局部鞅测度(equivalentlocalmartingalemeasure)，而NFLVR可以推出无套利。这里可以参考Ageneralversionofthefundamentaltheoremofassetpricing,Delbaen,Schachermayer，慎入，作者均是泛函分析领域的大牛，教过无数顶尖分析和概率领域的学生，写的文章非常艰深；前者也是鄙人所在学校ETHZurich概率论与金融数学组的退休教授，他们的学术成果请自行scholar.google；笔者的老师用了大约20学时教相关的半鞅知识，20学时教这篇论文)。简而言之，用这两种随机过程模拟价格是可以满足无套利的，因此可以用鞅方法定价，这即是用这两种过程建模的好处之二。在衍生品定价问题中，一般假设underlyingpriceprocess服从例如上述某种随机过程，定价则是利用金融工具的复制（超复制super-replication）等方法，在特定金融市场的假设（比如无套利，或者更特殊的假设NFLVR；又比如自由买卖假设；假设很重要!!!）下求得一个该金融工具的无套利价格，以及对应的复制（或超复制）策略。当然（超）复制问题大概涉及两个数学问题，一个是：optionaldecompositiontheorem，这个定理与最广义的FTAP有着天然数学美感的交互；另一个是随机控制论中的stochastictargetproblem，问题是如何找到一个期初价格和交易策略使得期末payoff被（超）复制。总之，不论在何种方法和假设下，资产定价理论中都用随机过程模拟资产价格。ConcreteExamplesBrownianmotion，这是搞金融数学不得不懂的随机过程，略，请参考：StochasticcalculusforfinanceII,StevenShrevePoissonprocesses，compoundPoissonprocesses在金融数学中的应用之一是：在结构定价问题中，我们假设资产过程除了布朗运动驱动的部分之外，还有跳跃，而跳跃经常是由这两种过程模拟的；更一般地，我们还可以假设资产价格过程服从更广义的跳跃形式，该跳跃形式存在于Levyprocesses,affineprocesses或者continuousstatebranchingprocesses中，一般称作Levy-typejump。Levyprocesses可以看做weakclosureofCompoundPoissonprocesses；Levyprocess区别于Brownianmotion和compoundPoissonprocess的地方在于，Levyprocess还有一项squareintegrablemartingale，它可以理解为是intensity为无穷大、跳跃幅度无穷小（因此有可积性）的compensatedcompoundpoisson，在Ito-Levydecomposition中，它是由可数个compoundcompensatedPoissonprocesses组成的。在模型的微分形式中，跳跃和布朗运动驱动的部分经常是线性存在。关于Levyprocesses，请参考IntroductorylecturesonfluctuationsofLevyprocesses,KyprianouLevyprocessesandstochasticcalculus,ApplebaumRenewalprocesses，Levyprocesses经常被用于金融保险中的Ruin问题，鉴于这已经超越我的知识范畴，在此不详细讨论，一本可能的参考文献是：IntroductorylecturesonfluctuationsofLevyprocesses,Kyprianou除衍生工具性定价问题，在金融控制问题中，一般也假设资产过程价格或者其他相关过程服从某种随机过程。比如在最简单的Mertonproblem中，我们假设资产价格服从多维几何布朗运动。又比如在Jacod和Shiryayev在1993年发表的关于optimaldividend的文章中，公司的价值服从一个带线性漂移的布朗运动减去一个左极限右连续的红利支付过程，然后用一个停时(stoppingtime)使其停止于价值首次为0的时刻。随机过程在金融中也可以描述资产价格之外的过程。比如SDE可以描述短期利率，在此请参考StochasticcalculusforfinanceII,StevenShreve关于伊藤过程驱动的高级利率模型，比如affineprocess，请参考Termstructuremodels:agraduatecourse,DamirFilipovic随机过程还可以描述除了价格、利率之外的金融变量。比如在著名数理金融学家DarrelDuffie写的关于intensitybasedcreditriskmodel的文章中（原文叫creditriskmodelingwithaffineprocesses,Duffie），假设defaultintensity服从affineprocess，则可违约债券定价形式与短期利率下的债券定价有相同的形式和计算方法，只是将短期利率改写成违约强度而已。关于affineprocess，请参考Affineprocessandapplicationsinfinance,Duffie,Filipovic,SchachermayerTransformanalysisandassetpricingforAffinejump-diffusions,Duffie,Pan,Singleton以及以上文到的那本讲Termstructure的书：Termstructuremodels:agraduatecourse,DamirFilipovic在KMV模型中，假设公司价值服从某个随机过程，比如几何布朗运动。以上这两种随机过程在信用风险中的应用均可以在DarrelDuffie的书CreditRisk:Pricing,Measurement,andManagement中找到。随机过程也可以描述衍生金融工具的价格。比如我们知道欧式期权的payoff（在这里是期末价值），同时知道underlyingassetpriceprocess，我们可以论证欧式期权的价格过程满足倒向随机微分方程(BSDE)；如果underlyingassetpriceprocesses满足Markovianstructure，则该BSDE为一个前向－倒向随机微分方程(FBSDE)；其中方程期末条件是payoff，方程生成元(generator)与underlyingprice相关；方程有一对解，第一个解是期权价格过程，第二个解则对应欧式期权在该市场下的复制策略。如果假设underlyingprocess是几何布朗运动，则该BSDE为线性BSDE，其解的形式就是欧式期权的定价公式：风险中性测度下期末值贴现的期望。相关文献请参考：Backwardstochasticdifferentialequationsinfinance:Karoui,Peng,Quenez类似地，BSDE也可以描述效用，称作随机微分效用(stochasticdifferentialutility)，可以参考：Stochasticdifferentialutility,Duffie,Epstein此外MarekMusiela，RamaCont，TomasBjork，ReneCarmona等人也尝试过用随机偏微分方程(stochasticpartialdifferentialequations，可以近似理解为用无穷维随机微分方程或Banach空间取值的随机微分方程)；用SPDE建模就是用SPDE来模拟一个取值为连续函数的forwardratecurve演化过程。这应该就是Heath-Jarrow-Morton-Musiela，请参考：StochasticPDEsandtermstructuremodels,MusielaTowardsageneraltheoryofbondmarkets，TomasBjork,etalModelingtermstructuredynamics:aninfinitedimensionalapproach,RamaContInterestratemodels:aninfinitedimensionalstochasticanalysisperspective,ReneCarmona当时实务中并不需要这么多高深的数学知识。只要能明白概率论，应用随机过程，随机分析（基本内容一般包括stochasticintegral,SDE，特别是与Itoprocesses相关的内容）就能看懂绝大多数常用模型了。如果是做金融数学学术，则额外还需要专攻以下方向中的一个或多个：Levyprocess,affineprocess,backwardstochasticdifferentialequations,semimartingale,stochasticcontrol,stochasticdifferentialgames,stochasticPDE,等。除了概率论，金融相关的数学还涉及偏微分方程（及黏性解），控制论，数值分析，统计计量等。============MonteCarlo===========MonteCarlo最早是摩纳哥赌场的名字，笔者曾在七月造访。『MonteCarlo』算法一般是指，利用随机抽样的方法，获得一些随机系统的统计量或者参数。比如你有一颗硬币，你想知道掷出后获得正面的概率，那么你通过大量试验以后，可以利用获得正面的频率来估计，这也是中心极限定理的结果。金融中的一个应用是，通过MC来模拟多条标的资产的价格走势，代入形式为求概率期望的定价公式就可以求出估计的期权价格的模拟值。此方法则是实现定价的MC方法。将扔硬币和Brownianmotion联系起来的数学定理是Donskerinvarianceprinciple：我们可以想象用硬币反复地大量地投，减小面值(+\epsilon,-\epsilon)，同时减小投币时间间隔(\delta)，那么累积值过程在某种意义下收敛于布朗运动。MC具体还有很多其他金融应用，比如求某一个风险度量下的风险值。============MachineLearning===========『机器学习』是一门学科也可以算是方法。我在这领域涉足不深，曾经学习的是主要基于数据、利用回归分析、贝叶斯理论等方法种决策树并用它投票，用以实现模式识别、分类和预测等问题。具体方法有adaboost，baggingprediction，randomforest等。假设你是银行数据分析师，你有客户的数据，比如年龄，性别，年收入等。如何根据这些数据来简单的构造一个信用分类法则是机器学习的一个简单应用。
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