认购期权价格随时间和股价的变化

            认购期权价格随时间和股价的变化
                     于德浩
                     2020.6.25
我们看一下期权价格相关数据，做唯象物理分析。
当前，50ETF股价是2.958元。剩余27天的认购期权价格，实一2900，0.0820元；平值购2950合约，0.0535元；虚一认购3000合约，0.0323元。剩余90天的认购价格依次是，0.1288元，0.1023元，0.0814元。剩余181天的认购期权价格依次是，0.1666元，0.1423元，0.1202元。
期权价格的时间耗损。剩余期限越短，期权价格越低。一个经验公式，C=C0*t^0.5。其中，C就是当前期权价格，C0是剩余1天时的价格，是个常数。以平值期权为例，我们可以反推出C0=0.0535/27^0.5=0.0103; 或者0.1023/90^0.5=0.0108，或者0.1423/181^0.5=0.0106。这三个几乎相等的C0参数，也说明经验公式是很适用的。
我们可以求期权价格对时间t的导数。dC/dt=C0*(1/2)*t^(-1/2)，把C0=C/t^0.5代入，就可以得到dC/dt=C*(1/2)/t。以剩余27天的平值期权为例，剩余期限减少一天，期权价值减少0.5*0.0535/27=0.0010元。我们也可以这么计算，0.0535-0.0535/(27/26)^0.5=0.0010元。
证券行情软件，一般会根据BS期权定价公式去反推。这里的数据显示是，剩余27天的平值期权，内在价值0.0080元，时间价值0.0455元，溢价率 1.54%，杠杆比率 55.29；历史波动率（年化）12.78%，隐含波动率（年化）13.64%；Delta=0.572，Gamma=3.748，Vega=0.322，Rho=0.126，Theta= -0.333元/年；理论价格=0.0507元。
根据行情软件的BS公式反推，期权的时间价值耗损就是Theta，减少一天，价值就减少0.333/365=0.0009元。这与简单经验公式得出的结论是一致的。
随着剩余期限的减少，期权的价值会加速耗损， (dC/dt)/C=0.5/t。当剩余期限是30天时，每天时间耗损0.5/30=1.67%；当剩余期限时10天时，每天减损5%；当剩余期限是4天时，每天就减损12.5%；当剩余最后1天时，就是大幅减损50%，直到清零。
所以说，期权卖方具有天然优势。如果预期股价不涨不跌，那么卖出短期期权的预期获利就是期权价格/正股价格。比方说，剩余27天的平值认购期权（或认沽期权），期权卖方的预期获利就是0.0535/2.958=1.81%的月收益率。剩余期限越短，对期权卖方越有利。

那么，为什么还会有期权买方存在呢？这要看期权价格对股价的跟随变化。显然，正股的股价上涨，认购期权的价格也会跟随上涨，定量会涨多少呢？以剩余27天的认购期权为例。由于，平值2950期权价格是0.0535元，实值期权2900是0.0820元，虚值期权3000是0.0323元。所以，倘若股价上涨0.05元，那么当前的平值期权就变成实值期权，从0.0535元变成0.0820元；倘若股价下跌0.05元，那么期权就从0.0535元变成0.0323元。这里就有，ΔC/ΔS=（0.0820-0.0535）/0.05=0.57，或者ΔC/ΔS=（0.0535-0.0323）/0.05=0.42。
在BS期权定价公式里，希腊字母Delta来表示期权价格随股票价格的变化，这个偏导数正好是 N（d1）。在行情软件里显示，剩余27天的平值期权的Delta是0.572；虚一认购期权的Delta=0.384。与上面的简单推论也是一致的。
我们真正关心的是实际杠杆率（ΔC/C）/（ΔS/S）=Delta*S/C。就是说，既然我预期股价上涨，那么我就应该去买高杠杆的认购期权，而不是买入标的股票。平值期权的Delta大约是0.5，C/S=2%，那么实际杠杆率就是25倍。就是说，如果正股股价上涨+1%，那么认购期权的价格就会上涨+25%。
前面，我们提到，剩余4天的短期认购期权，时间减值是每天12.5%，买方天然不利。但是，如果多方认为，明天股价会大涨+1%以上；那么，他就会买入认购期权，因为他的明天一天的预期收益率是正值25%-12.5%=12.5%。
就是说，在期权投资的大略方向上，即使没有BS期权定价公式，我们依然知道，“如果你预期股价上涨，你就买虚一认购期权，这个性价比更好。” 这里的关键还是对股价涨跌方向的估计判断上。
当然，股价涨跌方向，尤其是短期，很难判断，猜不准。于是，人们就想，能不能在无需判断方向的情形下，投资期权获利？我认为是不能的，或者说是捡芝麻漏西瓜。
在专业的高级期权策略方面，人们更侧重波动率研究，找寻无风险套利机会。其实，我说，市场大部分情形下都是很有效的，这种机会本来就很少。只不过，由于大部分时间段，股价处于不大涨不大跌的状态，所以看上去总是在小赚。其实，总有一天，来一次特殊事件，就会吞噬前面的大部分“累积小利”。这唯一的好处就是，对投资客户好交待，“我们用了专业的复杂的交易策略，计算机AI自动量化投资交易，在大部分时间，我是给你们赚钱的”，利于融资。
内行看门道。如果真是为了投资获利，而不是赚取客户的资产管理费，去判断股价涨跌方向的概率，是必须要做的。“醉汉走路，忽前忽后”，我无法知道醉汉在某一时刻会向前还是向后；但是，我总知道他一定是朝家的方向走，早晚能到家。
对于股价方向的判断，也是大部分时间都是随机的，不知道涨也不知道跌。但，总在某些情形下，还是能知道涨的概率会更大些。就是说，当你不知道时，你要空仓，既不做多也不做空；当你认为上涨概率更大时，你要勇敢做多；当你认为下跌概率更大时，你要勇敢做空。
而股票期权频繁交易的最大错误之处在于，他自以为，任何时候都能判断股价的涨跌，这在根本上是不可能的。他所说的没有观点，多空对冲掉，其实也是一种观点，一种认为“股价不涨不跌”的观点。显然，任何时刻，都判断为“不涨不跌”的方向，也是大错特错的。