美式期权BAW定价模型

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钱局巷   2020-12-19 13:10   7428   0

术语与缩写解释
r:无风险收益率
b:商品的持有成本
1)若标的是无股利支付的股票,那么b=r;
2)若标的是有股利支付的股票,那么b=r-d,d为股利支付率;
3)若标的是外汇,那么b=r-r*,其中,r*为外国的无风险利率(直接标价法下);
4) 有的时候,因为标的有仓储以及保险等成本,最终持有成本b可能会大于无风险利率r。

:欧式期权价格(C为大写)

:美式期权价格
S:标的价格

:隐含波动率
X:执行价格
T:距离到期日时间
1 定价思路
最近一直在研究美式期权定价,我们知道,美式期权常用的定价方法就那么几种,二叉树,BAW模型以及蒙特卡洛最小二乘模型(LSM),因为大商所的豆粕期权是用BAW模型进行结算,因此我们首先看一下BAW模型是啥玩意,至于其他模型是啥玩意之后再写。
其实用BAW模型进行定价的原理那是相当的easy,简单来说,我们知道,欧式期权只有在到期日才能行权,美式期权在到期日前的任何时候都能行权,就是这种行权时间的灵活性赋予了它相对欧式期权的一个溢价,那么,问题就清楚了,美式期权的定价公式如下:
美式期权价格=欧式期权价格+溢价
那么,欧式期权定价公式是有解析解的,那么剩下就是看看溢价部分是啥呗,知道了溢价部分的具体表达式之后,我们就得到了完整的美式期权定价公式,是不是感觉so easy?妈妈再也不用担心我的学习!
接下来,让我们一起揭开BAW模型的神秘面纱吧。
就像Black-Sholes-Merton推导的那样,在无风险对冲的条件下,控制商品期权价格运动的偏微分方程形式如下:


我们注意到,当持有成本b和无风险收益率r相等的时候,方程退化为B-S-M经典的偏微分方程。当持有成本b为0的时候,方程退化为Black的商品期货期权的偏微分方程(即black-model)。在对期货期权进行定价的时候,我们的基本思路是:
因为美式期权与欧式期权都满足上面偏微分方程,因此它们之间的溢价也应该满足这个偏微分方程,即:




在某种假设条件下,关于偏差的偏微分方程会退化为常微分方程,通过解这个常微分方程,我们可以获得溢价表达式的基本形式,然而还需要确定一个系数,我们再通过牛顿法得到这个系数,我们就得到了关于溢价的总体表达式,也就完成了美式期权的定价。
2 欧式期权定价公式
这里之所以提到欧式期权定价,是因为模型中有一部分是欧式期权的价格,而这里欧式期权的价格输入参数为:标的价格S,执行价格X,距离到期日的时间T,无风险收益率r,以及持有成本b,隐含波动率
,不同于传统的B-S公式,有股利收益率这一输入项,因而定价公式的表达方式是不同的,这点要尤其注意。




其中:






3 BAW定价简易推导过程
这里我们先以看涨期权为例,看跌期权推导过程与看涨期权差不多。
通过前面的分析,我们知道,美式期权溢价部分
的表达式为:


满足的偏微分方程为:


假设
,之所以这么假设,我想和风险中性定价的一般形式有关,这里
可以简单理解为折现因子,
理解为未来的预期收益,所以这个表达式即表示把未来的收益折现到现在,我觉得应该是这样,大家可以先这样简单理解吧。
将表达式带入到上面的偏微分方程,我们有:


其中,
,
,

当期权还有很长时间到期时,即T趋近于无穷,
趋近于1,方程最后一项

也近似为0;当期权到期时,欧式期权与美式期权价格相同,那么

就为0。所以,在其它时间段,我们可以粗略的假设,方程的最后一项
为0。因此,上面的偏微分方程就退化为常微分方程了。方程的具体形式如下:


通过解上面的常微分方程,我们得到两个解,表达式如下:




其中,

因此,这个常微分方程的一般解为:


上述方程
是已知的,
是我们要求解的量,当S趋近于0的时候,理论上
也应该趋近于0,但是因为
,所以方程前面那一项
就趋近于无穷了,因此,
必须为0,综上,我们得到了美式期权定价的一般表达式:


接下来,我们主要论证,在期权标的价格变化的过程中,标的的价格会达到一个特殊的值
,在这个值以上,美式期权的价格与立即执行期权所获得的收益相等,在这个值以下,美式期权不会被提前行权,因此我们要找到这个特殊的

经过推导,
满足如下方程:


关于计算该方程中的
,我认为用牛顿法迭代就行了。
最终,美式看涨期权的定价公式为:






美式看跌期权定价公式为:






其中:




4 求解希腊字母
1)delta求解
很简单,对于delta的求解,我们直接对上面的解析解求导即可,结果如下:
Call
delta=delta(欧式)+

Put
delta=delta(欧式)+

2) gamma求解
Call
gamma=gamma(欧式)+

Put
gamma=gamma(欧式)+



3) 其它希腊字母
因为其它希腊字母解析解求起来比较费劲,因此推荐用差分法求解。







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