美式期权BAW定价模型

术语与缩写解释
r：无风险收益率
b：商品的持有成本
1）若标的是无股利支付的股票，那么b=r;
2）若标的是有股利支付的股票，那么b=r-d,d为股利支付率；
3）若标的是外汇，那么b=r-r*，其中，r*为外国的无风险利率（直接标价法下）；
4）有的时候，因为标的有仓储以及保险等成本，最终持有成本b可能会大于无风险利率r。

：欧式期权价格（C为大写）

：美式期权价格
S：标的价格

：隐含波动率
X：执行价格
T：距离到期日时间
1 定价思路
最近一直在研究美式期权定价，我们知道，美式期权常用的定价方法就那么几种，二叉树，BAW模型以及蒙特卡洛最小二乘模型（LSM），因为大商所的豆粕期权是用BAW模型进行结算，因此我们首先看一下BAW模型是啥玩意，至于其他模型是啥玩意之后再写。
其实用BAW模型进行定价的原理那是相当的easy，简单来说，我们知道，欧式期权只有在到期日才能行权，美式期权在到期日前的任何时候都能行权，就是这种行权时间的灵活性赋予了它相对欧式期权的一个溢价，那么，问题就清楚了，美式期权的定价公式如下：
美式期权价格=欧式期权价格+溢价
那么，欧式期权定价公式是有解析解的，那么剩下就是看看溢价部分是啥呗，知道了溢价部分的具体表达式之后，我们就得到了完整的美式期权定价公式，是不是感觉so easy?妈妈再也不用担心我的学习！
接下来，让我们一起揭开BAW模型的神秘面纱吧。
就像Black-Sholes-Merton推导的那样，在无风险对冲的条件下，控制商品期权价格运动的偏微分方程形式如下：

我们注意到，当持有成本b和无风险收益率r相等的时候，方程退化为B-S-M经典的偏微分方程。当持有成本b为0的时候，方程退化为Black的商品期货期权的偏微分方程(即black-model)。在对期货期权进行定价的时候，我们的基本思路是：
因为美式期权与欧式期权都满足上面偏微分方程，因此它们之间的溢价也应该满足这个偏微分方程，即：

在某种假设条件下，关于偏差的偏微分方程会退化为常微分方程，通过解这个常微分方程，我们可以获得溢价表达式的基本形式，然而还需要确定一个系数，我们再通过牛顿法得到这个系数，我们就得到了关于溢价的总体表达式，也就完成了美式期权的定价。
2 欧式期权定价公式
这里之所以提到欧式期权定价，是因为模型中有一部分是欧式期权的价格，而这里欧式期权的价格输入参数为：标的价格S，执行价格X，距离到期日的时间T，无风险收益率r，以及持有成本b，隐含波动率
，不同于传统的B-S公式，有股利收益率这一输入项，因而定价公式的表达方式是不同的，这点要尤其注意。

其中:

3 BAW定价简易推导过程
这里我们先以看涨期权为例，看跌期权推导过程与看涨期权差不多。
通过前面的分析，我们知道，美式期权溢价部分
的表达式为：

满足的偏微分方程为：

假设
，之所以这么假设，我想和风险中性定价的一般形式有关，这里
可以简单理解为折现因子，
理解为未来的预期收益，所以这个表达式即表示把未来的收益折现到现在，我觉得应该是这样，大家可以先这样简单理解吧。
将表达式带入到上面的偏微分方程，我们有：

其中，
,
,
。
当期权还有很长时间到期时，即T趋近于无穷，
趋近于1，方程最后一项

也近似为0；当期权到期时，欧式期权与美式期权价格相同，那么

就为0。所以，在其它时间段，我们可以粗略的假设，方程的最后一项
为0。因此，上面的偏微分方程就退化为常微分方程了。方程的具体形式如下：

通过解上面的常微分方程，我们得到两个解，表达式如下：

其中，
。
因此，这个常微分方程的一般解为：

上述方程
是已知的，
是我们要求解的量，当S趋近于0的时候，理论上
也应该趋近于0，但是因为
，所以方程前面那一项
就趋近于无穷了，因此，
必须为0，综上，我们得到了美式期权定价的一般表达式：

接下来，我们主要论证，在期权标的价格变化的过程中，标的的价格会达到一个特殊的值
，在这个值以上，美式期权的价格与立即执行期权所获得的收益相等，在这个值以下，美式期权不会被提前行权，因此我们要找到这个特殊的
。
经过推导，
满足如下方程：

关于计算该方程中的
，我认为用牛顿法迭代就行了。
最终，美式看涨期权的定价公式为：

当

当

美式看跌期权定价公式为：

当

当

其中：

4 求解希腊字母
1）delta求解
很简单，对于delta的求解，我们直接对上面的解析解求导即可，结果如下：
Call
delta=delta(欧式)+

Put
delta=delta(欧式)+

2) gamma求解
Call
gamma=gamma(欧式)+

Put
gamma=gamma(欧式)+

3) 其它希腊字母
因为其它希腊字母解析解求起来比较费劲，因此推荐用差分法求解。