简单平值期权定价公式x=0.5A
于德浩
2020.10.9
对于股票平值期权的定价，在简单的两概率末态模型下，我们很容易得出期权占比正股的价格x=0.5A。假设股价末态，要么波动到+1X，要么波动到-1X，各有p=50%的概率。那么认购期权卖家的盈利就是x，可能亏损就是0.5*A，从而盈亏平衡方程就是x=0.5A。这里的A的物理意义是振幅、标准差、波动率。对于认购期权买方，盈利的期望值是0.5（A-x），亏损的期望值是0.5x；从而得到盈亏平衡方程0.5（A-x）=0.5x，同样也可以解得x=0.5A。
举个例子，比如当前股价是S=3.0元，股价一个月的波动率大约是σ=6%，这个波动率可以根据最近连续20个交易日的股价日涨幅统计去近似估计。那么剩余30天的行权价X=3.0元的平值认购期权的理论价格就应该是3.0*0.5*6%=0.09元。这与期权的市场价格符合很好。
当然，早在1900年，巴舍利耶就根据公平游戏博弈模型给出了这个期权定价结果。x=N（0）*σ。其中，N（0）=0.5，是正态分布累积函数。当前流行的BSM期权定价公式，也可得到x=N（d1）-N（d2），近似就是x=0.4σ。顺便说一下，由于BS期权定价公式的这个线性系数是0.4，比0.5小；所以，据此反推的隐含波动率往往要高于历史波动率。
在公平游戏博弈模型中，巴舍利耶已经意识到“行权成功率”不等于“胜率”，所以，对于行权价格更高的虚值认购期权，价格要向下修正。x=p*σ+p*（1-X/S）。显然，对于平值期权，刚好不需要修正，此时p=N（0）=0.5，x=0.5σ=0.03。而对于虚一认购期权X=3.09元，此时p=1-N（0.5）=0.3，修正后的价格是x=0.3*σ+0.3*（-0.03）=0.009；对于虚二X=3.18元，此时p=1-N（1）=0.16，修正后的理论价格是x=0.16*σ+0.16*（-0.06）=0。显然，这是与实际市场数据不相符的。虚值期权的市场价格要更高；而且虚三虚四等深度虚值期权的价格也存在，而不是负值。
这也说明，现实的市场交易并不是公平的零和博弈游戏，虚值期权的卖家有先天优势。这就如同赌场的庄家与赌客的交易。比方说，连续4次掷硬币为正，1变16才是概率公平游戏博弈。但在现实中，只要赔率是1变10，也会有赌徒参与。从经济学上讲，庄家有物质（金钱）的利润收益；赌客虽然损失金钱，但获得了精神利益效用的补偿。一掷千金，要的就是“幸运之神的刺激和爽”的感觉。就如同家长愿意支付20元，（这就是物质损失）；让小孩去充气城堡玩20分钟，得到“快乐”。
当然，股票期权是金融衍生品，要更复杂。这不是掷硬币游戏，人们都能知道出现正面的客观概率是50%。虽然市场认为是中性的股价不涨不跌；但，真正股价上涨的客观概率，人们是不知道的。多头自以为股价上涨的概率大，他才能成为买家；而空头自以为下跌的概率更大，才成为卖家。
当然，理智的讲，如果你看涨，你应该买入平值或实值认购期权，而不是虚值认购期权。因为，期权的市场定价是按照“行权成功率”，而真实的“胜率”要更小。比方说，当前股价是3.0元，平值期权价格是0.09元；当一个月（30天）后，股价上涨到3.06元末态收盘；你虽然行权成功了，但实际并没有“胜利”，是从市值0.09元变为0.06元，亏损33%。
在简单的两概率末态模型下，对于虚值期权的理论价格，我们是这么计算胜率p的。对于平值期权，末态是+1X的概率是0.16，是-1X的概率也是0.16，所以胜率p=0.16/（0.16+0.16）=0.5。这与巴舍利耶的N（0）的值相等，但计算方法是完全不一样的。
对于虚一认购期权，末态就变成+1.5X和-0.5X。也就是说，只有当末态是+1.5X时，虚一认购期权的获利才是A，盈亏方程是（1-p）*x=p*（A-x），解得x=p*A。此时的p=（1-N（1.5））/（1-N（1.5）+N（-0.5））=（1-0.9332）/（1-0.9332+1-0.6915）=0.18。这要比行权概率N（-0.5）=0.3要小一半。
对于虚二认购期权，简单的两概率末态是+2X和0X，这里的p=（1-N（2））/（1-N（2）+N（0））=（1-0.9772）/（1-0.9772+1-0.5）=0.04。这比行权概率N（-1）=0.16要小很多，但比巴舍利耶的0要大得多。
现实的市场数据，期权定价基本是按照行权概率去定价的。 实际案例，上证50ETF在2020.9.18日的收盘价格是3.406元，当时剩余39天的平值认购3400市场价格是0.1002元，虚一购3500是0.0612元，虚二购3600是0.0381元，虚三购3700是0.0236 元，虚四购3800是0.0156元。 实一3300认购， 0.1550元；实二3200, 0.2290元。实三3100认购，0.3134元。
我们先待定系数，根据平值期权反推波动率（标准差）。A=（0.1002/3.406）/0.5=5.88%。虚一认购X=3.500，（3.5-3.406）/3.406/0.0588=0.47，大约在+0.5X处。行权概率p=1-N（0.5）=0.3，虚一的理论价格大约是3.4*0.3*0.06=0.0612元，这与实际的0.0612元非常一致。虚二认购，p=1-N（1）=0.16，理论价格大约是3.4*0.16*0.06=0.0326元，比实际的0.0381小15%。而深度虚值的虚三，p=1-N（1.5）=0.067，理论价格大约是3.4*0.067*0.06=0.0137元，仅是实际价格的60% 。虚四p=1-N（2）=0.023，理论价格大约是3.4*0.023*0.06=0.0047元，仅是实际价格的30% 。也就是说，深度虚值期权的性价比相对更低。
从唯象数据分析，可以看出，剩余期限39天，行权价是等差数列递增，对应的认购期权价格是等比数列递减。从实二3200到虚四3800，公比依次是{ 0.68,0.65,0.61,0.62,0.62,0.66 }，近似公比q=0.62。
再看一下剩余期限是95天的实际案例。50ETF在2020.9.18日的收盘价格是3.406元，剩余95天的平值认购3400市场价格是0.1525元，虚一购3500是0.1136元，虚二购3600是0.0824元。虚三3700认购，0.0600元；虚四3800认购，0.0459元；虚五3900认购，0.0350元。 而实一3300认购是0.2015元；实二3200认购，0.2645元；实三3100认购，0.3336元。实四认购0.4069元。 从实三到虚五的价格递减的公比是{0.79,0.76,0.76,0.74,0.73,0.73,0.77,0.76}，近似公比q=0.75。
剩余期限95天的公比0.75要比剩余39天的公比0.62大，是因为T=1个周期的波动率更大。因为整体的方程是局部的方差之和，标准差与剩余时间T^0.5成正比。实际案例数据，剩余186天平值认购3400，在2020.9.18日的收盘价是0.2099元；剩余95天是0.1525元，剩余39天是0.1002元。
我们先根据剩余39天的0.1002元，待定系数反推出波动率是σ=5.88%。那么剩余95天的理论价格大约是3.4*0.5*0.0588*（95/39）^0.5=0.1561元，这与实际0.1525非常一致；剩余186天的理论价格大约是0.1*（186/39）^0.5=0.2184元，这与实际的0.2099也很一致。
由于剩余95天的波动率9%比剩余39天的波动率6%更大，所以，增加相同的0.1元行权价，行权概率p要减少的更慢，所以，公比q也更大。 （剩余39天，p从平值0.5减少到1-N（0.1/3.4/0.06）=0.31；而剩余95天，p从0.5减少到虚一的1-N（0.1/3.4/0.09）=0.37。）
为什么相同剩余期限的虚值期权的价格大约是等比数列递减呢？这从市场交易来看，还是不难理解。当剩余期限较长，可以近似为无限长时，认购期权的价格变化就是跟随上涨。当你看涨时，可以“自由买入”虚一3500或虚二3600或虚三3700，你的预期收益应该是基本一致的，近似都是1/q，这就是金融一价定律。
当然，即使在看涨的情形下，理智的讲，如果考虑期权期限的边界效应及公平博弈模型，我们应该买入平值或实值认购期权，不要买入短期深度虚值期权。
对于深度实值期权，杠杆作用就比较小。比方说，实四认购是0.4069元，时间价值几乎为0。如果正股股价上涨+3%，那么认购期权价格就上涨为0.50元，+25%涨幅，这相当于8倍杠杆。如果股价继续上涨+6%，那么累积收益就是0.7/0.4=1.75倍。而如果当初是买入平值认购，那么累积收益就是实三/平值=0.3336/0.1525=2.19倍。
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