巴菲特深入介绍期权定价公式

　　巴菲特巧用认沽期权抄底可口可乐是期权投资者耳熟能详的一个经典案例，事实上，巴菲特对于期权的使用远不止于此。伯克希尔-哈撒韦公司在许多年间都持有大量期权头寸，巴菲特在致股东的信中也曾多次谈到其对期权的看法，他甚至还曾对BS期权定价公式作过一番评论。
　　截至2008年，伯克希尔公司持有总计面值371亿美元的认沽合约义务头寸，分布在S&P 500、FTSE 100、Euro Stoxx 50、Nikkei 225等4个指数标的上，期初收到权利金合计49亿美元。上述合约将在2019年9月9日到2028年1月24日间到期。对于上述期权投资，巴菲特信心满满，他在信中谈到，“我认为我们持有的合约在最初的定价都是错误的，有时这种错误甚至非常严重”，可以看到错误定价可以给他的期权投资带来较大的安全边际，进而提供利润来源。此外，巴菲特还提到将所获权利金进行再投资，这无疑也将带来可观的收入。
　　然而，根据BS公式计算，截至2008年这部分合约头寸却出现了51亿美元的损失。这引起了投资者的关注和争议。作为回应，巴菲特专门在信中讨论了BS公式。他认为使用BS公式为长期期权定价可能毫无意义，举个例子：假如卖出面值为10亿美元的S&P 500认沽期权，行权价为903（2008年12月31日时的指数点位）,100年后到期，根据BS公式定价得到的理论权利金是250万美元。
　　要判断上述价格是否合理，需要评估标普指数100年后是否比当前点位低。巴菲特认为需要考虑通胀和留存收益两方面对指数的推动因素：一方面需考虑通胀对指数的推动作用，假设通胀率2%，在100年后的1美元将仅价值现在的14美分，这将极大地推高指数名义价格；另一方面，100年间的留存收益将极大地增加大部分指数成分公司的价值，例如道琼斯工业平均指数在20世纪就增加了约175倍。
　　考虑上述因素，巴菲特假设指数在100年间低于当前水平的概率为1%，如果下跌的话最有可能跌到当前的50%，因此预期损失为10亿美元×50%×1% = 500万美元。然而，巴菲特在收到250万美元的权利金后，只需取得0.7%的复合年化投资收益，就可以覆盖预期损失，这对于他当然不是难事。即使在最糟糕的情况下，指数跌到0，总计亏损10亿美元，也仅需6.2%的权利金复合年化投资收益即可覆盖损失。因此，巴菲特认为，BS公式会高估长期认沽期权价值。
　　那么，巴菲特的观点是否合理呢？在加州理工学院的学者Bradford Cornell看来，BS公式使用的名义无风险利率已考虑到了通胀和权利金收入的再投资收益，因此BS公式的问题不在于未能正确计量货币的时间价值。在排除了错估无风险利率、错估分红率等其他可能性之后，Cornell认为错误最有可能发生在对长期波动率的假设上。
　　标准的BS公式假设收益服从对数正态分布，根据巴菲特的案例，Cornell倒推出股价在100年后低于当前价位的概率约4%，高于巴菲特假设的1%，从而导致BS公式对长期认沽期权定价过高。为什么会出现这种情况呢？
　　一种可能是基于对数正态分布假设，波动率将随着时间的增加而线性增长，而实际上长期波动率的增速慢于该假设。不过学术上对此仍存争议。
　　另一种可能是基于政治经济学的解释。在巴菲特的例子中，长期认沽期权的价值来自股票收益分布的左尾，即股价低于行权价的小概率事件。而实际上，在出现金融危机的情况下，政府往往会介入市场，从而避免股价进一步下跌。在政府的介入下，长期波动率的左尾会面临一种“软壁垒”，进而显著降低了长期认沽期权的预估价值。
　　无论Cornell的分析是否正是巴菲特心中所想，也无论巴菲特对BS公式的看法是否正确，至少实践似乎暂时站在了巴菲特一边。CBOE的全球衍生品市场部门总监Russell Rhoads在2016年时回顾了巴菲特的认沽期权交易表现。事实上巴菲特卖出认沽期权的时间主要在2004年至2007年，这些交易的时点短期看无疑不太理想，但到2016年来看时表现倒还不错。当然，其间伯克希尔公司也进行过一些调整，如2010年部分头寸被了结并获得了2.2亿美元的簿记盈利。下表展示了这些认沽期权空头头寸的内在价值和市场价格。
　　可以看到，2016年底时这些头寸的内在价值仅余10亿美元，这意味着如果全部合约在2016年到期，那么将最初的权利金收入扣除10亿美元，再加上已实现的簿记盈利，就是期权交易本身的收入了，这还未计期间通过权利金再投资获得的收入。当然，由于期权还未到期，鹿死谁手尚未可知，最终答案还需耐心等待2028年全部合约到期时才可揭晓。