在使用蒙特卡洛模拟进行回望期权定价时，如何消除bias?

作者：cadlag
对任何衍生品用monte carlo定价的时候我们需要考虑：一是生成一条路径path；二是通过多条路径求均值。这样子描述是强调用mc定价的时候必然存在两个误差，一个叫bias，即同过离散生成路径而产生的误差；另一个叫统计误差或者方差。当一个衍生品是路径相关path dependent的话，bias就显得特别引人注意，因为bias占误差的权重多了。
在mc方法里，我们经常用mse（mean square of error）来描述mc总的误差。举个最简单的vanilla欧式看涨期权，假设为期末payoff函数，为通过离散生成每一条路径后的payoff结果。mse定义为，通过加减一个项可以得到

前者是bias是平方，后者是payoff结果的方差。前者可以根据不同离散的方法（最简单普遍的是euler-maruyama，再之milsten,还有更复杂但不常用的taylor 级数展开式）对于payoff函数的弱收敛性知道bias大小的级数order。比如vanilla欧式期权（payoff函数是Lipschitz连续）的话是

其中c_1是一个常数，是离散时间单位。所以对于vanilla欧式期权bias的大小order是1（）。对比另一个误差的来源统计方差，假设模拟N条离散单位为的路径

对于我们要控制mc RMSE在内，则根据需要意思就是说，如果要提高10倍的精度（即RMSE 缩小为其0.1），需要模拟多100倍条路径和增加10倍步数。显然方差作为误差占了大头，所以mc里面基本上都是通过减少方差（四个经典方法）来提高mc方法的效率。
另外，mc方法中的误差表达方式还有一个不是常见的，可以参考我专栏里面自适应多层次mc中的表达方法。
对于你说关心的回望lookback期权，对于euler-maruyama离散他的weak convergence只有0.5，所以，他的bias error 对于的收敛速度只有 order 0.5,比普通欧式期权慢了一般。但是通过处理，比如可以改善bias error的收敛速度到 order 1。
总体来说，系统的可以改善 bias部分 error的效果比较显著的是multilevel mc，他是通过两个层次形成grid来降低bias error 跟 variance的。