Black-Scholes公式中的volatility（波动率）怎么求

jin8200 · 2017-8-25 14:10:26

波动率指数（Market Volatility Index，VIX）
　　波动率指数简介
　　波动性在金融衍生品的定价、交易策略以及风险控制中扮演着相当重要的角色。可以说没有波动性就没有金融市场，但如果市场波动过大，而且缺少风险管理工具，投资者可能会担心风险而放弃交易，使市场失去吸引力。
　　1987的全球股灾后，为稳定股市与保护投资者，纽约证券交易所（NYSE）于1990年引进了断路器机制（Circuit-breakers），当股价发生异常变动时，暂时停止交易，试图降低市场的波动性来恢复投资者的信心。但断路器机制引进不久，对于如何衡量市场波动性市场产生了许多新的认识，渐渐产生了动态显示市场波动性的需求。因此，在NYSE采用断路器来解决市场过度波动问题不久，芝加哥期权交易所从1993年开始编制市场波动率指数，以衡量市场的波动率。
　　芝加哥期权交易所（CBOE）在1973年4月开始股票期权交易后，就一直有通过期权价格来构造波动率指数的设想，以反映市场对于的未来波动程度的预期。其间有学者陆续提出各种计算方法，Whaley（1993）提出了编制市场波动率指数作为衡量未来股票市场价格波动程度的方法。同年，CBOE开始编制VIX指数，选择S&P100指数期权的隐含波动率为编制基础，同时计算买权与卖权的隐含波动率，以考虑交易者使用买权或卖权的偏好。
　　VIX表达了期权投资者对未来股票市场波动性的预期，当指数越高时，显示投资者预期未来股价指数的波动性越剧烈；当VIX指数越低时，代表投资者认为未来的股价波动将趋于缓和。由于该指数可反应投资者对未来股价波动的预期，并且可以观察期权参与者的心理表现，也被称为“投资者情绪指标”（The investor fear gauge ）。经过十多年的发展和完善，VIX指数逐渐得到市场认同，CBOE于2001年推出以NASDAQ 100指数为标的的波动性指标（NASDAQ Volatility Index ，VXN）； CBOE2003年以S&P500指数为标的计算VIX指数，使指数更贴近市场实际。2004年推出了第一个波动性期货（Volatility Index Futures）VIX Futures， 2004年推出第二个将波动性商品化的期货，即方差期货（Variance Futures），标的为三个月期的S&P500指数的现实方差（Realized Variance）。2006年，VIX指数的期权开始在芝加哥期权交易所开始交易。
　　波动率的类型
　　1、实际波动率
　　实际波动率又称作未来波动率，它是指对期权有效期内投资回报率波动程度的度量，由于投资回报率是一个随机过程，实际波动率永远是一个未知数。或者说，实际波动率是无法事先精确计算的，人们只能通过各种办法得到它的估计值。
　　2、历史波动率
　　历史波动率是指投资回报率在过去一段时间内所表现出的波动率，它由标的资产市场价格过去一段时间的历史数据（即St的时间序列资料）反映。这就是说，可以根据{St}的时间序列数据，计算出相应的波动率数据，然后运用统计推断方法估算回报率的标准差，从而得到历史波动率的估计值。显然，如果实际波动率是一个常数，它不随时间的推移而变化，则历史波动率就有可能是实际波动率的一个很好的近似。
　　3、预测波动率
　　预测波动率又称为预期波动率，它是指运用统计推断方法对实际波动率进行预测得到的结果，并将其用于期权定价模型，确定出期权的理论价值。因此，预测波动率是人们对期权进行理论定价时实际使用的波动率。这就是说，在讨论期权定价问题时所用的波动率一般均是指预测波动率。需要说明的是，预测波动率并不等于历史波动率，因为前者是人们对实际波动率的理解和认识，当然，历史波动率往往是这种理论和认识的基础。除此之外，人们对实际波动率的预测还可能来自经验判断等其他方面。
　　4、隐含波动率
　　隐含波动率是期权市场投资者在进行期权交易时对实际波动率的认识，而且这种认识已反映在期权的定价过程中。从理论上讲，要获得隐含波动率的大小并不困难。由于期权定价模型给出了期权价格与五个基本参数（St，X，r，T-t和σ）之间的定量关系，只要将其中前4个基本参数及期权的实际市场价格作为已知量代入期权定价模型，就可以从中解出惟一的未知量σ，其大小就是隐含波动率。因此，隐含波动率又可以理解为市场实际波动率的预期。
　　期权定价模型需要的是在期权有效期内标的资产价格的实际波动率。相对于当期时期而言，它是一个未知量，因此，需要用预测波动率代替之，一般可简单地以历史波动率估计作为预测波动率，但更好的方法是用定量分析与定性分析相结合的方法，以历史波动率作为初始预测值，根据定量资料和新得到的实际价格资料，不断调整修正，确定出波动率。
　　波动率指数的编制原理
　　计算波动率指数（VIX）需要的核心数据是隐含波动率，隐含波动率由期权市场上最新的交易价格算出，可以反映市场投资者对于未来行情的预期。其概念类似于债券的到期收益率（Yield To Maturity）：随着市场价格变动，利用适当的利率将债券的本金和票息贴现，当债券现值等于市场价格时的贴现率即为债券的到期收益率，也就是债券的隐含报酬率。在计算过程中利用债券评价模型，通过使用市场价格可反推出到期收益率，这一收益率即为隐含的到期收益率。
　　估计隐含波动率的方法众多，计算期权的隐含波动率时，必须先确定期权的评价模型、所需的其它参数值和当时所观察到的期权市场价格。例如在Black-Scholes期权定价模型（1973）中，标的物价格、履约价格、无风险利率、到期时间和股价报酬的波动率等数据带入公式后，可得到期权的理论价格。若标的物与期权的市场是有效率的，其价格已充分反映其真实价值，且定价模型也正确无误，则可在市场上观察到期权的价格，利用反函数概念，通过期权的市场价格和Black-Scholes期权模型，就可反推出隐含波动率。由于隐含波动性代表投资者对未来市场价格变化预期，所以称为隐含波动率。
　　CBOE 1993年推出最早的VIX 指数（代号为VXO），其计算基础是基于Black和Scholes（1973）、Merton（1973）提出的期权模型，除了波动率外，所需参数还包括当前股价水平、期权价格、履约价格、存续期、无风险利率和存续期间预期发放现金股息的时间和金额，但由于CBOE所推出的S&P 100期权为美式期权，并且已经考虑标的成分股发放现金股息的情况，因此CBOE在计算VIX 指数时，使用Cox，Ross和Rubinstein（1979）提出的二项式模型计算期权的隐含波动率。
　　在期权定价模型中，以S&P100指数水平为现货价格，无风险利率采用债券市场上存续期最接近期权到期日且存续期在30日以上的国库券利率，并取买/卖报价的平均值做为有效利率，若期权的存续期小于三十日，则以存续期间为三十日的国库券为替代；现金股息则以连续发放的形式来估计S&P100 指数的预期现金股息率，由于VIX 指数是以存续期为三十个日历日为基础，并且假设标的股票的现金股利均已事先得知，这些参数的估计值通常误差不大。
　　在计算隐含波动率时需要用到当时市场上的期权报价，但由于使用实际的交易价格时，期权的价格会在买价与卖价之间跳动，将引起隐含波动率的变动产生负的一阶自相关，因此选取买卖报价的中间值作为期权的市价，此外，采用实时的期权买卖报价相对于使用上一笔成交价更能真实迅速地反映市场信息的瞬息变化。
　　VIX 的隐含波动率在计算上还有另一个独特之处，即期权存续期是以‘调整后的交易日’为计算基础，而非以日历日来衡量。因为VIX应该以交易日为基准，但我们一般反推出的隐含波动率是以日历天数为基准，也就是说，当反推星期一的隐含波动率，实际上与前一交易日只相差一天，但由于以日历天数为基准，所以形成与前一交易日相差三天，这种情况可能导致VIX 偏低，所以隐含波动率应进行调整，基于此，以日历日为基础计算的隐含波动率应调整为以交易日为计算基础，以正确表达每日的波动程度：
　　
　　其中Nc 为存续期的日历日天数，Nt则为修正后的交易日数，使用修正后的交易日来计算隐含波动率有别于使用交易日来评价期权，因期权的存续期不但会通过隐含波动率，也会通过标的指数的预期上涨幅度和期权报酬的贴现期长度的计算来影响期权的评价，因此考虑以修正后的交易日为存续期的估计更为准确。
　　显然，以修正后交易日为计算基础的隐含波动率应该是以日历日为计算基础的隐含波动率乘上两者天数平方根的比值，即：
　　
　　其中，δt为修正交易日后计算的隐含波动率，δc为以日历日为基础的计算隐含波动率。
　　在获得上述所需的参数值资料后，通过Black-Scholes期权定价模型，就可以反推出期权的隐含波动率。
　　波动率指数的编制方法
　　CBOE于1993年推出第一个VIX波动率指数，在2003年推出新的VIX指数后，旧指数仍然持续公布，为区分新、旧VIX指数，将旧VIX指数更名为VXO指数。
　　VXO基于S&P100期权，由八个近月（Nearby）与次近月（Second-nearby）且最接近平价的期权序列的隐含波动率构成，在八个期权序列中，分别有四个买权与四个卖权，按照到期月份分为近月序列与次近月序列，履约价格则选取最接近平价（Near- the-money）的两个序列，分别为低于现货指数（S）的履约价格Xl，高于现货的履约价格Xu，如当时标的现货的价格恰巧等于某平价序列的履约价格时，则选取平价和略低于现货的履约价格两个序列（见表1）。
履约价格近月合约次近月合约
Call Put Call Put
Xl（ < S）

注：Xl为低于现货价格的履约价，Xu为高于现货价格的履约价
　　t1、t2分别代表近月及次近月，其中t1 < 30 < t2，t1须大于8日
　　c、p分别代表买权及卖权
　　VIX的隐含波动率加权平均主要由三个步骤组成。首先将相同履约价格与到期月份的买权与卖权的隐含波动率经过加权平均，可得到四个波动率：
　　（2）
　　（3）
　　（4）
　　（1）（5）
　　其次，分别将同一月份不同履约价的期权波动率加权平均，权数为履约价与现货价格的差距，计算后可得到两个不同月份的期权波动率。
　　（6）
　　（7）
　　最后再以期权距到期期间为权数，加权平均期权近月与次近月合约的隐含波动度，即计算出一个平价且距到期时间尚有22个交易日（或30个日历日）的隐含波动度，即为VXO波动率指数。Nt1为近月合约距到期日的交易天数，Nt2为次近月合约距到期的交易天数。
　　（8）
　　由于有接近一万亿美元的资产与S&P500指数连动，并且S&P500期权的交易规模也大于S&P100期权，因此CBOE在2003年9月22日推出新编的VIX波动率指数，计算基准改为S&P500期权，同时在算法上也有改进，指数更接近市场实际情况。
　　CBOE 以方差和波动率掉期（variance & volatility swaps）的方法更新计算公式，同时，旧指数VXO只包含平价附近的期权合约，新指数VIX则加权平均计算所有价外的买权和卖权，比旧指数更能体现整体市场动态，其公式如下：
　　（9）
　　（10）
　　其中T为距到期时间（分）；F为远期指数水平；Ki是第i个价外期权的履约价；；K0为低于远期指数水平的第一个履约价；R表示无风险利率；Q（Ki）表示履约价Ki契约的买卖价中间值；要计算F需要先计算出同履约价的买权价格和卖权价格，再带入下式：
　　
　　CBOE先后使用上述两者方法来计算交易日内每分钟的VIX 指数，，每60秒更新一次，给投资者提供最新的预期未来市场波动率信息。由于S&P 100/500股票市场是早上8：30到下午3：00之间交易，为避免现货指数与期权的报价时间不一致的问题，VIX通常在9：00后开始计算，直到下午3：00为止。
　　通过对1993年2003年指数计算方法的比较，可以发现CBOE的新旧波动率指数主要有几个方面存在不同：一是指数标的不同。旧指数采用S&P100，新指数则采用S&P500；二是计算的期权合约不同。旧指数采用近月与次近月且最接近平价的期权来计算，而新方法加权平均计算所有价外的买权和卖权；三是计算的方法不同。旧指数采用二项式模型计算期权的隐含波动率，新指数则采用方差和波动率掉期方法计算。
　　波动率指数的表现和有效性
　　VIX推出后，成为全球投资者评估美国股票市场风险的主要依据之一，2004年CBOE推出全球第一个波动性期货VIX Futures后，受到全球投资者的追捧，特别是2005年以来，全球金融资产波动性急剧增加以后，VIX的交易量更是屡创新高。
　　波动率指数受到投资者青睐的主要原因和其近年来美国股市的波动有关。2001年美国发生911恐怖事件后，股市在9月17日重新开盘时一路下跌，到9月21日道琼工业指数跌至8235.8点，S&P100指数也跌至491.7点，VIX则升到48.27的高点，隔天（9月24日），股市即出现368点的大幅反弹，反弹幅度约4%，之后美股多头走势一直持续到2002年第一季度。2002年3月19日，美股上涨至10635.3高点，S&P100指数也达592.09点，此时VIX处于20.73的低点；2002年7月，美股在一连串会计报表丑闻影响下，下跌至五年来低点7702，S&P100跌至396.75，VIX高达50.48，隔天（7月24日），股市同样出现489点的大反弹。由此可见，作为预测美股趋势的指标，VIX很有参考价值。即可以从VIX 指数看出S&P 指数变盘征兆，VIX 到达相对高点时，表示投资者对短期未来充满恐惧，市场通常接近或已在底部；反之，则代表投资者对市场现状失去戒心，此时应注意市场随时有变盘的可能。
　　大量研究以波动率指数为对象进行了实证检验。Whaley（1993）最早开始对波动性指标进行研究，他提出以S&P100指数期权为基础建立波动性指标，并探讨其在避险方面的应用，其研究结果指出VIX 指数和S&P100指数呈负相关关系；通过模拟波动性指标的衍生品的避险效果，说明波动性指标可以在不影响其它风险参数的情况下，有效规避投资组合的Vega风险。
　　Fleming、Ostdiek和Whaley（1995，1996）以日数据和周数据为基础，研究认为VIX 指数有一定程度的一阶自相关现象，同时发现VIX指数并不存在明显周内效应。而 VIX 指数和S&P100指数报酬呈现高度负相关且存在不对称的关系，即VIX指数在S&P100指数下跌时的变化量大于S&P100指数上涨时的变化量。并且VIX 指数是S&P100指数未来实际波动性的良好预期值。Maggie和Thomas（1999）分析了VIX指数和股市收益间的关系，发现VIX指数可作为股市收益的领先指标，当VIX指数显著上升后，则未来股市中大盘股投资组合的收益表现优于小盘股投资组合的收益、价值股投资组合的收益优于成长股投资组合的收益，而当VIX指数下降时，则有相反的结果。
　　Traub、Ferreira、McArdle和Antognelli（2000）从VIX指数的相对高低点角度研究了股市和债市间的关系，认为如果VIX指数处于相对高点，则未来一至六个月内，股市表现将优于债市；如 VIX指数处于相对低点，则一至六个月内，债市表现将优于股市；除美国市场外，该结果在其它国家也有效，当 VIX 指数处于相对高点时，全球股市表现优于债市。Whaley （2000）以1995年1月至1999年12月间的周数据，分析了S&P100指数和VIX指数之间的关系，他认为市场对VIX指数上升所产生的反应比对VIX指数下降的反应要大，认为股票市场收益率和VIX指数变化量的关系不对称，这和Fleming、Ostdiek和Whaley（1995）研究结果类似。Giot（2002）以VIX 指数和那斯达克100指数平价期权的波动率指数作实证研究，发现VIX指数和VXN指数与同期标的指数收益率呈高度的负相关；当VIX指数和VXN 指数处于相对高位，即波动性越高时，买入指数所产生的收益越高。他认为按照隐含波动性计算的波动性指标，相对于其它估计方法，所包含的信息最多，且对未来实际波动性的预测能力会随时间增加而提高。

yuting · 2018-9-4 21:34:32

很好的资料，谢谢分享

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