有没有大神可以把力矩的物理意义讲清楚？

我只知道简单的概念：M＝r × F，大小是 |M|＝|r| |F| sinφ，方向垂直于 r 和 F 所在的平面……
但是我对于这个概念的理解，不像能量 E、动量 p、位移 x、速度 v 这么明确。希望有明白的人讲的透彻一些！

taipingyu · 2022-6-28 18:16:46

啊这
考虑
由牛顿第二定律：

由求导法则：

而最后一项可以变形成

因此

定义为系统的角动量，它的其中一个意义是质点矢径扫过面积速度的大小（读者自证），则

由此可以看出，力矩实际上对应一个转动上的效果，一如力对应一个平动上的效果
（如果你把上式写成 ,对比 ,可以看出 , ,两者形式上是一样的，因此你可以认为力矩就是转动中的“力”)
而实际上，在刚体力学中，设角速度，则

由矢量分析公式：

代入得

引入惯量张量 , ,其中是克罗内克尔记号，当且仅当时等于1，其余时候等于0,则
,这就是著名的刚体角动量定理，力矩之于转动的效果也可见一斑
以上。

916nto · 2022-6-28 18:16:38

有些场合下力矩的地位就和力差不多，在转动时会有所谓“力矩做的功”。

熊猫 · 2022-6-28 18:16:18

角动量是空间旋转对称性下的守恒量，动量是空间平移对称性下的守恒量。（诺特定理）
力的时间累积效应对应了动量的变化量，力矩的时间累积效应对应了角动量的变化量。
那你就可以理解成力矩对应空间旋转系下物体间的相互作用。

l1vf9 · 2022-6-28 18:16:07

谢邀，这里从物体(刚体)的转动说起。
如果看得累，可以至少看完第一、第二部分~

一、物体转动与力矩的关系

首先，物体的运动有平动(Translational Motion)和转动(Rotational Motion)。比如，在斜面上推动一滑块，则该滑块为平动；开门时门绕定轴转，则为该门为转动。
物体平动时有位移，转动时有角位移 ；平动时有速度，转动时有角速度 ；平动时有加速度 ，转动时有角加速度 。
力(Force)直接改变物体平动状态，力矩(Torque)直接改变物体的转动状态！
合外力是物体平动状态改变的原因，而合外力矩是物体转动状态改变的原因！
对于平动，有，其中为合外力，为惯性质量（即质量），为加速度；而对于转动，有，其中为合外力矩，为转动惯量，为角加速度。
（对于转动也有写法为，其中为合外力矩，为转动惯量，为角加速度。）
由此可知，力直接导致物体的加速度，而力矩直接导致物体的角加速度。当然，当合外力矩为0时，物体不转动，比如杠杆平衡。

二、对力矩计算的理解

力矩是力的一种使物体以一定角加速转动的能力。

  （矢量的叉乘）
力矩的大小：
力矩的方向：垂直于和所在的平面

三、力矩与物体静平衡

一个物体静平衡，既需要达到平动上的平衡也需要达到转动上的平衡。
平动上的平衡要合外力为零，而转动上的平衡要合外力矩为零。
即静平衡需要：   且

这里给一个简单的物体静平衡的例子：
一长度为、质量为的梯子倚靠在光滑墙面上，与地面夹角为。某工人站在梯子的三分之二高处，其与手上器具的总质量为。若墙面与梯子的摩擦忽略不计，为了防止梯子下滑，梯子与地面的静摩擦系数至少要是多少？
梯子不下滑，需要静平衡，则合力、合力矩都必须为0.
受力分析：

- 墙对梯子的支持力
- 地面对梯子的支持力
- 地面与梯子间的摩擦力
  - 梯子的重力
  - 人与器具的总重力
选择梯子与地面的接触点为支点：
因为，所以且。
首先
则

同时
则有

还有
则

则梯子与地面的静摩擦系数至少为

四、力矩与物体平动加转动

一个物体平动遵守 ，转动遵守。
【其中 为合外力， 为惯性质量（即质量）， 为加速度； 为合外力矩， 为转动惯量， 为角加速度。】

这里给一个简单的物体平动+转动的的例子：
如图，细绳包裹着一个质量为，半径为的均匀实心圆柱体，圆柱体从静止开始下落。该圆柱的转动惯量为。则当圆柱下落时细绳的拉力是多少？

（CM指质心）

受力分析：

  - 细绳拉力
  - 圆柱重力
该均匀圆柱绕质心转动，故力矩的大小为。
所以合外力矩为。
由于
故有   ······ (1)
由于
故有   ······ (2)
线加速度与角加速度的关系为： ······ (3)
联立(1)(2)(3)，可得
将代入(1)，得当圆柱下落时细绳的拉力为。

五、力矩与角动量

物体的角动量等于其转动惯量与角速度的乘积： ，其中为角动量，为转动惯量，为角速度。
则其微分形式为
由于 ,
故力矩可重新表示为
由此可知，物体所受的外力矩等于其角动量的变化率。
由，可得
由此可知，角动量的变化量是力矩对时间的累积效应。 也称为冲量矩。
这可以类比于物体平动所受的外力等于其动量的变化率、物体平动动量的变化量（冲量）是力对时间的累积效应。（ 、）

六、力矩做功

首先，功的基本定义是：

然后如下图：

进一步地，根据矢量的点乘，对于定轴转动物体有
则
故
因此，对(定轴)转动物体做的功，是力矩做的功。
类比于物体平动时力做功 ，物体转动时有力矩做功 。

七、力矩与转动动能定理

之前所说外力矩做功有：
由于，
故有
由于
所以
因为定义物体的转动动能为 ，所以。
由此可知，合外力矩对物体做的功等于该物体转动动能的变化量。这就是转动中的动能定理。
这可以类比于物体平动时的动能定理：合外力对物体做的功等于该物体平动动能的变化量。

八、机械能守恒时力矩与势能的关系

在没有非保守力时机械能守恒：

其微分形式为

由于功等于动能的变化量，微分形式
所以当机械能守恒时势能与功的关系为

之前已提，对于定轴转动物体有
则
故有
（注意仅当力矩是由保守力产生时该关系才有效。)

九、力矩与功率的关系

功率的定义为
之前已提，对于定轴转动物体有
则
由于角速度，所以有
类比于物体平动时功率，物体转动时有功率。

不过其实我写的打的也挺累的，给个赞吧~

f0lay · 2022-6-28 18:15:23

尝试使用最清奇的思路理解最复杂的定义。
2021.5.8
试着换个角度理解转动惯量，最后力图贯通质点运动和刚体运动。
图什么的，原本是真的真的真的打算画的，但是考虑到大家自己动手画图对理解有帮助，对吧，所以为了促进大家的学习，我没画！

如果大家真的需要，我再补好bua。

原本想写一写电磁学的，但是感觉基本上都挺好理解的吧。

比如电场的引入，虽然因为涉及到了场论，导致要想理解电场是客观存在，并且具有能量、质量和动量的观点略微有些困难，但是书上单说这样可以对电荷周围空间各点赋予一种局域性，从而减少运算量，已经足够让我们接受其存在的价值了。
包括关于电偶极子在电场中受到的力矩为，其理解起来也需要场的知识。

值得一提的是，高斯定律存在的意义是根据已知的电场强度分布求解任意区域内的电荷。
这是因为实际情况下，能将从中提出的例子少之又少，而库仑定律才是求解电场分布最普适的选择，不过以后不走这个方向的同学其实不用太过在意。

不过唯有电荷的量子性，我真的难以接受。

如果大家实在想让我写一篇有关电磁学的，就评论告诉我哪块内容没能够理解，我会试着用最通俗的语言重新描述一下的。
这篇应该以后不会更了，感觉都解释的差不多了吧，emmm或者大家还有什么想要我解释的，我可以再补补？
hxdm记得点赞/鞠躬。
2021.4.8
啥都没更新，我还在想怎么谋篇布局，最近在学电磁力，interesting，感觉分支物理总是这么相似呢！！快点搞完旋转去玩电磁学了！！！
唯有一事相求，动动你们可爱的小手多点点赞吧，这样我才有写下去的动力嘛！！！
收藏比赞多也太令人难过了吧，好xdm！！！
这句话真的很重要，请一定要好好琢磨！
真的很重要，请一定要好好琢磨！
很重要，请一定要好好琢磨！
对于任何一个力作用在任意一个物体上，物体都将有沿力的作用方向运动的趋势。
一、力F为平动力

若力的作用线贯穿圆心，圆将沿力的方向运动。
又由于力的方向不变，所以圆保持平动。
此时，亦可将圆看作质点，其运动规律也均与质点相同。
二、力F为转动力

若力的作用线为圆的切线，圆也将沿着力所指的方向运动。
虽然力的作用点不变，但是作用点的位置会随着圆的运动而改变。
因此，力的方向虽然一直保持切向，但却时刻变化。
此时更换参考系，假设力不动，圆动，为了保证力的方向始终与圆相切，圆只能转动。

这也解释了为什么在现实生活中，力的作用线即使贯穿圆心，圆也会发生转动。
是因为有摩擦力的存在，而其方向为切向，于是物体受摩擦力发生转动。

三、力F为任意力

若力的作用方向不为上述情况，由于上述两种情况的力的作用线互相垂直。
因此，必可通过正交分解将其分解为上述两种力（转动力和平动力）。
于是就有转动力，平动力（为力与切线的夹角）。
四、R的由来

对于两个不同大小的圆，有同一力，均作用于圆的切线上，其产生的效果却是不同的。
因此我们需要一个可变量与力相乘，以展示力F在不同情况下的效果（权重）。
通过多次实验，可以发现，权重与的大小呈正比相关，于是我们定义了一个新变量（力矩），用来表示（为力与作用点和圆心的连线的夹角）。

为什么不用来更好的表示权重？
主要原因在于，这样表示的话在后面表示力做功时可以直接套用力矩。

原本想再多休息一会，周末再研究，但是看到这么多小伙伴想学，我立马起来干活！！！
不过这些也都只是我个人的理解，我不能保证对就是了。
但是，至少我觉得逻辑是通顺的，而且这样理解也的确效果更好，更能和其他知识串在一起。
五、M（L）的方向

将力矩的方向定义成垂直半径与力所组成的平面，主要是因为这样可以清晰的表达受力物体的转动方向。
因为从受力体上任意一点来看，物体转动方向是时刻在变化的。
而脱离单一的点，从宏观角度下观察的话，我们可以描述其是逆时针或者顺时针，那么用右手螺旋法则来定义它的确不失为一种简单的方法。
原本这里有很长的篇幅是我想讲一下进动与力矩方向定义的关系。
但是，写完了之后发现，其实我自己也没搞懂进动。
书上说，进动是让物体绕自身对称轴高速旋转后，它的轴会在水平面内以杆顶为中心转动，既没提到外力推动，也没说转动方向（附一张书上的图）。
而百度上说，进动是指一个自转的物体受外力作用导致其自转轴绕某一中心与自转方向相同的旋转。

至少目前我觉得百度上的说法较为合理，当然外力推动可能是由于静摩擦力的存在，所以理想情况下可以忽略，自转方向的话应该是有关系的。
具体的还是等我自己做做实验再看吧。

为什么明明力矩的单位是，定义上却只是把它描述成一种趋势而不是力呢？
原因主要有两个：
1、如果力矩是力，那它就能与半径叉乘，产生力力矩？然后力力矩又能继续叉乘？显然这是不可能的。
2、如果不人为规定力矩的方向，那么无论是将力矩设定成半径的方向还是力的方向都不满足力的性质——物体运动方向与作用力同向。

六、角动量

这边先空着吧，有空再写，大家可以自己研究研究，我个人觉得只要把力矩理解通了，剩下的还是比较好解决的。
稍微解释一下，为什么力矩不是力，却能做功？
其实力矩所做的功就是所做的功，并且功的大小就是，同时这里的其实就是假设力不动，作用点走过的弧长，即中的。
七、陀螺仪

写这个主要是因为研究陀螺仪的时候没找到什么好的解释，所以自己写一下。

百度上的图，拿过来用一下，我画图太菜了，正在找人帮忙画图ing。
其实任何三维平动都是由三种简单平动组合而成，分别是上下、左右、前后。
那么任何三维转动也可以由三种简单转动组合而成，分别是上下转动、左右转动、前后转动。
一一考虑，上下转动大家肯定都没问题。
前后转动：这个也比较简单，可以很直观的看出陀螺仪帧前后转动时，万向坐标系不会跟着转动。
左右转动：陀螺仪帧左右转动时虽然会带动万向坐标系左右转动，但是万向坐标系左右转动并不会带动里面的万向坐标系转动（我也不知道叫什么），因此转子依然不会改变方向。
也是基于这个道理，才需要三个互相垂直的圆来定向，确立一组 x-y-z 坐标系。
最后就是转子最好要选取转动惯量大的（类比质量大的），这样可以转的久一点。
八、何为J

转动惯量是什么？课本上将其称为刚体在转动过程中表现出的惯性，通俗易懂，但是为什么呢？就因为它和质点运动的公式如此相似吗？
显然不是的，如果要解释这个问题，我们需要假设一个新的物理量，并将其命名为质量矩。
借此，我们可以将刚体运动的公式全部用替换，得到下列式子：

tangential：切线的，正切的。

是不是感觉和，和突然很像呢？同时又有以下公式：

考虑到类似于，这里就不过多讨论了。
这里其实可以发现，所谓的刚体转动，不过就是比质点运动多考虑了一个权重而已。

联立一下有：

最后再看动能公式：

代入得：

由于刚体转动中的为外沿的转动速度，因此有。

乍一看，这可不就是质点运动吗？
至此，我们新定义了一个物理量——质量矩 ，用它将刚体转动的公式重新解释了一遍，并且令其与质点运动的公式变得几乎一模一样。
因此，何为？其不过是一个人为定义的物理量，目的是使刚体运动的公式与质点运动的公式更加的相似而已。
看到这的小伙伴肯定好奇，明明比对质点运动的公式的类比程度更高，为什么最后选用？
我想可能大概就是因为太像了，过犹不及吧，当然关键原因还是因为对于转动来说远比好用。
最后，这也成功的解释了为什么机械能守恒对于质点运动和刚体转动是通用的。
我一直相信各种知识是可以串联的，如果我还想写什么的话，我可能会试着把数学上的叉乘和物理上的比一比，但是不知道能不能成功。
如果还看到什么有趣的关于转动的现象，我也会写在这里。
最后，有什么其他问题也可以私聊我，非常乐意解答。

有没有大神可以把力矩的物理意义讲清楚？

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