【定价】二叉树（CRR）欧式/美式期权定价的原理及Python实现

二叉树一种常用的期权定价方法，相比BSM模型，这个方法适用范围更广，可以为美式期权等一些其他品种定价。该方法是保持波动率不变的条件下，将价格路径做简化，根据简化的路径做分析和计算。
本文首先介绍使用二叉树为期权定价的原理，然后给出为欧式期权和美式期权定价的程序。

使用二叉树进行期权定价，主要包含两步：1.从左到右生成二叉树。2.根据生成的二叉树，从右向左计算期权价值。

一.从左向右生成二叉树
期权定价的已知条件有：股票当前价格S0，执行价格K，到期时间T，无风险利率r，股票价格波动率σ。
生成二叉树要知道三个参数：股票价格上涨到的比率u，股票价格下跌到的比率d，股票价格上涨的概率p。所以第一步要根据已知条件计算需要的三个参数。

本部分讨论一步二叉树的情况，多步二叉树是多次进行一步二叉树操作。

1.计算p
p的计算可以使用无套利方法，也可以使用风险中性定价方法。风险中性定价方法简单，所以使用该方法计算p。

所谓风险中性定价，就是假设所有投资者都是风险中性的，即当投资风险增长时，投资者并不需要额外的预期回报率。
在该条件下，股票的价格会以无风险利率的平均速度增长。所以，经过一段时间Δt后，有
。所以
。

2.计算u和d
计算u和d的依据是波动率吻合，即二叉树表现出的波动率等于σ。我们知道股票价格在Δt时间区间上收益的标准差为
，或者说收益的方差为
。
在Δt的时间区间上，收益率为u-1的概率为p，为d-1的概率为1-p。根据方差计算公式
可得

。将前面得到的p的公式代入可得
。
方程中有两个未知数u和d，是无法进行求解的。John Hull的书中，没有解的过程，只是提到了用泰勒展开式。
我查了John C. COX，Stephen A. ROSS，Mark RUBINSTEIN的论文，到解方程的时候，只是来了句A little algebra shows we can accomplish this by letting u和p等于某个值。
网上查到的其他资料，一般是会假设ud=1的条件作为另一个方程。可以做这种假设的原因，应该是波动率吻合即可，u和d的关系不影响定价。因为从BSM的公式可以看出，影响期权价格的标的变动因素只有波动率。
所以，可以假设一种简单的关系ud=1。在这个假设下，波动率能够吻合，并且有比较好的特性：经过u和d后股票价格不变。
解这两个方程可得
，
。
经过前面计算，若股票当前价格S0，执行价格K，到期时间T，无风险利率r，股票价格波动率σ已知，在Δt的时间间隔后，股票价格上升下降的比例u、d，上升概率p都能得到。因此，可以一步步的往后构造二叉树了。

二.从右向左计算期权价格
本部分讨论看涨期权，看跌期权原理相同。

1.欧式期权
欧式期权不会提前行权，情况较为简单。定价需要经过两步：1.计算叶子节点的期权价值。2.向前加权平均并折现，得到前一层节点的期权价值。3.重复2步至0时刻。
多步二叉树非叶子节点上的股票价格在这一步其实是没用的。得到期末叶子结点的期权价值后，不断往前加权平均并折现，就得到了每个节点上的期权价格。

2.美式期权
美式期权可能提前行权，要在欧式期权的基础上加一步是否提前行权的判断。定价过程变为：1.计算叶子节点的期权价值。2.向前加权平均并折现，得到前一层节点的期权价值。3.判断在该节点是否提前行权，若提前行权的话，将提前行权的期权价值更新为本节点的期权价值。4.不断重复2和3步至0时刻。
判断是否提前行权，需要先计算提前行权的收益。提前行权的收益为本节点上股票的预期价格减执行价格。如果收益大于期权价值，说明提前行权获利更多，因此会提前行权；反之则不会。

三.程序实现
本部分主要参考《Python金融衍生品大数据分析》，我主要做了两块改动：1.书上没有讲美式期权的二叉树定价程序，我自己实现了下。2.书上的程序逻辑有些不符合我的习惯，做了些改动。尤其是在向前加权平均并折现的逻辑，变量使用有些乱，不易理解，我改成了容易理解的形式。

1.二叉树的实现
这块的核心是用什么数据结构构建二叉树，书上用的是矩阵来实现，这种方式巧妙、简洁。

首先生成了两个矩阵mu和md。通过后边可以知道，生成这两个矩阵就是为得到u和d的幂次矩阵。

mu矩阵

md矩阵

然后用mu-md，得到新的mu矩阵。新的mu和前面的md就是u和d的幂次矩阵。

新的mu矩阵

二叉树在矩阵中位于对角线右上方。通过画出二叉树，我们就很清楚的看明白为什么mu可以作为u的幂次矩阵了。

在矩阵中画出二叉树

但是S0乘以u的mu次幂只是考虑了股价上涨的二叉树，S0乘以d的md次幂只是考虑股价下跌的二叉树。S0乘以u的mu次幂再乘以d的md次幂，你能得到目标二叉树了，如下图。

构建的二叉树

2.程序解释

不对程序做过多解释了，稍微说明一下美式期权定价程序的最后一部分，代码如下：

这块是从矩阵右下角往左上角逐步计算。矩阵的最后一列是叶子节点，所以需要自右向左逐列更新矩阵，从而得到各节点上期权的价值。第一，更新是从叶子节点的前一层开始的，直到更新至第1列，矩阵左上角的位置就是期权价值。第二，并不是更新一列的所有行，一列中只是更新至和列数相同的行数，因为对角线以下的行，二叉树是用不到的。第三，加权平均并折现得到的期权价值，要和提前行权得到的收益比较，取较大者。

最后绘制一下欧式期权二叉树方法和BSM模型的比较，可以看到步数足够多后，二叉树和BSM计算的价格相等。背后的原理应该是二项分布的极限是正态分布，即步数足够多时，沿二项分布路径得到的股票价格，是趋向于正态分布的。

CRR模型和BSM模型的对比

源代码：https://github.com/ququcai/option。

本文作者：曲曲菜（微信公众号：曲曲菜）
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