如何管理外汇期权组合的时间价值风险：Theta的分解和对冲

近年来，人民币外汇期权市场取得了突飞猛进的发展，客盘交易已经成为影响人民币外汇期权市场的一个重要因素。
但由于客盘交易的期权产品定制化程度较高，而银行间期权市场报价以标准期限和标准执行价的期权为主，银行与客户达成的期权交易很难通过银行间市场进行比较完美的匹配与对冲。因此，大部分期权交易员都需要构建合适的期权交易组合，通过监控组合的各项风险指标，综合使用各种市场流动性较好的基础产品进行动态对冲。
在众多的期权风险指标中，Theta是日常交易中需要关注的一项重要指标，它反映了期权组合的价值随时间推移的变化。但在实际交易中，Theta存在多种不同的计算口径，市场上不同的系统对于Theta的计算方法也不尽相同，因此有必要对此进行一些梳理。
一、Theta的计算与分解
一个静态的外汇期权交易组合损益主要受到三类市场数据的影响，即即期汇率（spot）、掉期曲线（swap curve）和波动率曲面（vol surface）。
当这三类市场数据都保持不变，而组合的估值日向后推移一天时，组合损益发生的变动被称为Theta_Total，它直接反映了在市场“静止”的情况下组合的隔夜损益变动，也是期权交易员最为关心的Theta计算值。
但是，这一口径下计算的Theta值在交易中并没有太多的参考意义，因为它所反映的隔夜损益变动是由多种不同来源的时间价值所构成，需要将其进行合理的分解，分析其产生的原因，并对每一个组成部分分别进行管理。
外汇期权的价值主要与远期汇率、波动率和期限有关，而远期汇率和波动率本身也与期限有关，同时考虑波动率微笑，波动率还受到远期汇率的影响。因此，外汇期权的价值可以表示为：

在远期汇率曲线和波动率曲面都保持不变的情况下，当估值日向后推移一天时，除了期权自身的期限减少一天外，用于对期权进行估值的远期汇率发生了变化，同时对该期权估值所使用的波动率在波动率曲面上的位置也有所改变。
据此，我们可以将期权价值随期限的变化（即Theta_Total）分解为Theta_T、Theta_F和Theta_V三个部分。

其中，Theta_T表示在不改变期权估值所使用的远期汇率和波动率的情况下，仅将期权的期限缩短一天所产生的纯时间价值变动，这也是经典期权定价理论中Theta最原始的定义。在实际交易中，交易员可以将Theta_T计算值与Gamma结合使用，构建Gamma Trading策略，而如果交易员在Gamma Trading中使用Theta_Total作为参考指标，笔者认为这是不合适的。
Theta_F表示在估值日推移时远期汇率发生的变化所产生的期权价值变动，它等于adapted_delta与远期汇率变动的乘积。在实际交易中，Theta_F的管理类似于掉期交易组合的管理，可以直接通过远期或掉期交易进行对冲。
Theta_V表示在不改变期权估值所使用的远期汇率的情况下，因估值日向后推移一天所导致的波动率变化而产生的期权价值变动，它等于vega与波动率变动的乘积。其中波动率的变动又可以被进一步细分为两个部分。
如图1所示，初始日Day_0的期权估值所使用的波动率在A点；当估值日推移至Day_1时，一方面波动率微笑曲线本身发生了位移，另一方面由于期权的delta变化而导致估值波动率在曲线上的位置也发生了变化。
因此可以将二者分解，先考虑在不改变期权delta的情况下微笑曲线位移产生的波动率变化量，即从A点到B点的变动；再考虑由于delta的改变所导致的波动率变化量，即从B点到C点的变动。这两部分波动率变动所导致的期权价值变化分别称为Theta_V1和Theta_V2。
图1 波动率变动示意图

在实际交易中，Theta_V1主要通过日历价差期权组合进行对冲，通过合理配置各期限上的vega头寸，对波动率曲面的期限结构进行交易。而Theta_V2则需要通过call spread或put spread进行对冲，通过配置不同执行价格（或moneyness）上vega头寸的分布，对波动率微笑曲线的形态进行交易。Theta_V1和Theta_V2是期权波动率交易（Vol Trading）策略中需要特别关注的因素。
二、实例分析
通过上文的解析，已经能够清晰地将期权组合的时间价值Theta拆分成4个部分，并明确了每一个部分的不同来源以及管理方法。在实务中，不同期限或者不同执行价格的期权在Theta各组成部分的分布结构上各有不同，而不同标的汇率的期权在Theta的构成上也有很大区别，从而导致在期权交易组合的管理中也各有侧重。
笔者应用真实市场数据，分别对USDCNY 1y ATM Call、25D Call、10D Call以及EURUSD 1y 25D Call的Theta进行了结构分解测算，并在假设市场数据不变的情况下每隔一个月对Theta分解的结果进行一次跟踪测算，得到如下图所示的结果。其中横轴表示交易存续月数，纵轴表示每1000万单位名义本金的期权产生的Theta值，USDCNY期权的Theta值以人民币计，EURUSD期权的Theta值以美元计。
图2 USDCNY 1y ATM Call Option Theta分解

图3 USDCNY 1y 10D Call Option Theta分解

图4 USDCNY 1y 25D Call Option Theta分解

图5 EURUSD 1y 25D Call Option Theta分解

从测算结果可以看出，对于USDCNY期权来说，越靠近虚值的期权，其Theta成分中Theta_V1和Theta_V2的占比就越高。这主要是由于USDCNY的波动率曲面中，风险逆转（Risk Reversal）和蝶式期权（Butterfly）的值都较大且随期限递增，从而导致这些虚值期权的波动率微笑曲线以及波动率期限结构都非常陡峭。
在实务中，如果交易员管理的是一个客户不断卖出虚值期权的组合，日常的动态delta对冲很难覆盖组合的时间价值损耗，因为在市场合理定价的情况下动态delta对冲的收益只能覆盖Theta_T的部分；同理，通过卖出ATM期权进行对冲也是不合适的，而且可能出现Gamma已经成为负值、但整个组合仍然在亏损时间价值的尴尬情况。比较合适的对冲方法应该是观察整个波动率曲面，寻找曲面上相对比较陡峭的位置，并在市场上寻求卖出对应期权的机会。
USDCNY期权与EURUSD期权相比，最明显的特征就是Theta_T成分所占的比重相对较小。USDCNY 1y的ATM波动率约为4.5%，只有EURUSD波动率的一半，但是其远期升水率却大于EURUSD，从而导致其Theta_F的占比相对于EURUSD较高。
在2014年至2015年期间，曾出现过买入USDCNY ATM Put的时间价值为负数的情况，即当时掉期点较高，而波动率只有2%左右，导致Theta_F大于Theta_T。同样，在USDCNY汇率整体波动率水平不高的情况下，相对更加陡峭的波动率曲面使得Theta_V的成分也不可轻视。
因此，交易员在管理USDCNY期权组合时需要比管理外币对期权组合更加细致，除了关注各项风险指标的总敞口外，还需要关注其在不同期限和不同执行价格两个维度上的分布情况，并根据掉期曲线和波动率曲面的形态进行合理的头寸布置。
三、总结
本文针对Theta的计算提供了比较清晰的框架，交易员在实务中可以参照这一框架，对其所管理的期权组合的隔夜损益变动进行分解，分析其产生的原因，并采取相应的交易措施；也可以应用这一体系发现合适的交易机会，并构建相应的交易策略。
考虑到USDCNY期权的一些特性，在管理USDCNY期权组合时，对Theta的细化分解显得尤为重要，这将帮助交易员更加有针对性地进行头寸管理，获得更好的对冲效果。
作者：房睿，浙商银行
原文《如何管理外汇期权组合的时间价值（Theta）风险 ——理论与实务》全文将刊载于中国外汇交易中心主办《中国货币市场》杂志2017.11总第193期。