1987黑色星期一：波动率曲面的崛起（笔记008）

拉开近100年的金融史，股灾的裂度能与1929年相提并论的，只有1987年的黑色星期一，以及2008年的金融危机。而就股指单日跌幅，黑色星期一更以22.6%的幅度空前绝后。
与之前的郁金香泡沫、南海泡沫、1929大萧条不同，70年代开始发展出的全新市场参与者（机构）和全新工具（金融衍生品）让黑色星期一成为现代金融市场的第一次崩盘，极大地改进了人们对市场的认识，包括期权理论的进化。

图1. 近百年来标普500指数的30天历史波动率（数据来源：彭博、高盛）更有趣的是，把标普500向右移动10150天，可以发现87年的股灾与15年A股股灾爆发的节奏高度相似。

图2. 移动时间轴后，1987年的标普500（左轴绿色线）与2015年的上证综指（右轴白色线）
抛开基本面，单说微观机理的话，这种相似并不意外，两边都是：

巨量的新增投资者（美：养老金崛起 vs 中：各路资金）
使用让监管眼花缭乱的工具（美：股指期货 vs 中：伞形信托）
同时买入超出自身风险承受能力的资产（美：组合保险策略 vs 中：杠杆交易）
达到极限时出逃引发的崩盘（美：下跌33.5% vs 中：下跌48.6%）
也难怪在股灾期间，央行还特意向美联储询问了87年的救市政策：

图3. 股灾时央行与美联储的私聊
衍生品盛行

按萨缪尔森的说法，70年代之前，金融领域的研究大多是不成体系的写写画画，算不上严肃的经济学。所以Black的期权理论并没有受到哈佛和MIT的重视，反而是千里之外的芝加哥大学在1971年向他提供了教职。
芝大的经济学家对期权理论的重视主要受芝加哥期货交易所（CBOT）的影响。早在1969年，CBOT就聘请他们成立顾问委员会，研究场内期权交易的可行性。Black加入后不久，SEC批准成立期权交易所。1973年4月，芝加哥期权交易所（CBOE）正式开业。
1973年尼克松政府本想让SEC监管期货市场，但是被SEC主席拒绝了。于是1974年专门成立了美国商品期货委员会（CFTC），在国会农业委员会的监督下，负责监管期货市场。这给之后的期货现货监管分离埋下隐患。
作为最大的两家商品期货交易所，CBOT和CME对国会农业委员会有着很强的游说能力。怀着对金融衍生品的野望，在CFTC成立时，两家就合力将其监管的范围设定为“除洋葱之外，所有商品、服务、权利的期货”。
1975年，成立后的CFTC第一个批准上市的就是房利美债券期货；1976年，短期国债利率期货和10年国债期货上市；1981年，Eurodollar期货上市；1982年4月，标普500期货正式登场；1983年3月，推出标普500期权。
短短几年，CFTC批准的几十种金融期货和期权席卷华尔街。到1983年，已经有十几家养老金和差不多一半的大银行在衍生品市场对冲利率风险和股票头寸。包括纽约州在内的十几个州修改保险法，允许保险公司使用衍生品。1984年1月，SEC批准公募基金使用衍生品对冲市场风险。
依然活在旧时代的，好像只有国会的老爷们了。
组合保险策略与养老基金

1968年从哈佛毕业后，在加州伯克利教书的Hayne Leland一直在思考一个问题：能不能像买车险一样，为投资组合买保险呢？
当时，个股的期权已经广泛交易，但是仍然没有股票组合的看跌期权可用。
不知道他读书的时候是否接触过Black Scholes的期权动态复制理论。76年的9月，Leland突然有了灵感：没有股票组合的看跌期权不要急，自己可以动态复制啊！
为了验证自己的想法，Leland找来了自己的好朋友Mark Rubinstein。
Rubinstein是伯克利的期权专家，是著名的CRR二叉树模型里的第二个R。
Black、Scholes和Merton发表期权定价理论时使用的数学非常高阶，读者很难理解推导过程中的经济学意义。1979年，在威廉夏普的建议下，MIT的John Cox、耶鲁的Stephen Ross、和加州伯克利的Mark Rubinstein将Black Scholes模型简化成依靠初等数学就能理解的二叉树模型。（严格意义上讲，二叉树只是Black Scholes偏微分方程的一种数值解法。由于简单易懂而迅速走红，成为与蒙特卡洛方法并列的两种最流行的数值解）。
Rubinstein听了Leland的想法很兴奋。俩人一合计，准备开一家咨询公司。而他们打算推销的目标，就是正在飞起的养老金。
整个70年代，美国的利率一路攀升，这让以债券投资为主的养老金倍感压力。
1975年，新泽西州员工养老金开始加大股票的配置比重，并取得了优秀的业绩，养老金行业纷纷效仿，包括AT&T、通用汽车等大企业的员工养老金都开始持有股票。到1980年，养老金的股票总持仓至少2500亿美元，已经成为华尔街不可忽视的力量。

图4. 65年-90年美国通胀率（绿线）和10y国债收益率（白线）Leland和Rubinstein开始两年的推销并不成功。直到在1980年，他们遇到了特别善于将复杂数学翻译成普通话的第三个合伙人John O'Brien。凭着O'Brien的游说，三个合伙人成立的LOR很快获得了多家养老基金的投资，单Honeywell一家的资金就有2亿美元。

1982年春天，LOR在养老金行业杂志上用简洁的语言介绍了组合保险（portfolio insurance)策略：如果投资可以接受5%的损失，那么可以根据这个风险承受能力计算出债券和股票的配置比例。如果股票上涨，会继续增加股票的比例；如果股票下跌，就降低股票的比例。根据这种动态的调整策略，在投资组合损失5%的时候正好使股票的比例降低为0，从而保证投资不会继续下跌，就像买了看跌期权作为保险一样。
组合保险策略最大的卖点是让养老金在股市上涨时超配股票，而又不承担过多损失。
1983年，LOR在Kidder Peabody的建议下，不再直接调整股票头寸，而是通过标普500期货调整股票敞口，降低了对个股的冲击和交易成本，提升了策略容量。
1984年，通过与LOR在一个养老基金上的合作，JP摩根也开始了自己的组合保险业务。随后市场效仿者纷至沓来。
到了1986年的秋天，LOR自己管理的规模达到500亿美元。同时模仿者管理的规模也在500亿美元左右。
考虑到当时标普500的点位和市场的深度，这1000亿美元的单一策略对市场的影响力不亚于今天2万亿美元。
组合保险策略已经成为标普500期货市场上的头号玩家。
是金子，总会花光的

80年代的大牛市有着坚实的经济基础。
1979年Paul Volcker上任美联储主席后，用两年时间将联邦基金利率从11%提高到20%，成功将CPI从1980年的高点14.7%，镇压到1986年的1.1%。10年期美国国债收益率从1981年的高点15.84%，降到1986年的6.9%（见图4）。股票市场从1982年8月开启牛市。
1985年9月，广场协议后美元相对日元贬值50%。牛市进入加速阶段。
石油危机结束后，原油价格从32美元降低到1986年的10美元，美联储进一步降低了短期利率。牛市进入冲刺阶段。1987年前8个月，股市已经上涨40%。
万事俱备，就差一场东风了。

图5. 标普500在80年代的大牛市1987年8月11日，格林斯潘上任美联储主席。

面对他的是已显疲态的经济数据。里根政府的经济扩张政策已经进入第4个年头，虽然股市高歌猛进，但是政府赤字造成国债规模从7000亿美元上涨到2万亿美元，通胀率也1.9%上涨到3.6%（图4）。
为了防止通胀再次上升，抑制金融过度投机，上任后的前两周，格林斯潘就开始在美联储委员会游说加息，并成功在9月4日将贴现利率从5.5%一步提升到6.0%。
10月14日星期三，贸易逆差扩大超预期，美元大幅走贬。市场担心美联储进一步加息，10y国债利率突破10%。稍晚，有传言国会在讨论限制并购业务的税收减免政策，市场开始抛售潜在收购对象的股票。组合保险策略追涨杀跌的特性，开始在芝加哥抛售标普500期货。股市全天下跌2.95%。
10月15日星期四，纽约联储通过逆回购交易向市场注入资金，意在稳定债市，收效甚微。开盘后，组合保险策略继续大幅抛售，随后有大单买家进入，成交量巨大。但是，最后半小时卖盘完全碾压买盘，全天下跌2.34%收场。
10月16日，10月份的第三个星期五，期权市场的安息日。早晨的新闻是伊朗攻击了美国的运油船，德国加息也让外汇市场不安。两个月前都会选择漠视的消息，突然成了每个人的心头患。开市之后机构都成了卖家，仅组合保险策略的卖盘就占到整个交易量的一半，市场一路向南，收跌5.16%。即便如此，收盘时，LOR仍然有大量标普500期货的卖盘没能及时成交。

图6. 1987年10月19日前后标普500走势10月19日，星期一。纽交所的电子系统被卖单堵塞，经纪人很难找到买家为股票开盘。标普500期货直接跳空7%，并且继续坠落，市场流动性殆尽。中午1点，有传言SEC主席考虑暂停纽交所的交易，进一步加剧了组合保险策略的出逃，为全天交易量贡献了50%的卖单。标普500当日下跌20.47%，期货跌幅高达29%。

单日跌幅空前绝后。
10月20日星期二，股价的大幅变动不仅造成投资者保证金不足的问题，投资银行之间、投资银行与交易所之间都出现了保证金无法及时划转的问题，交易所的清算账户都出现资金不足。早上8点41，美联储声明，随时准备支持金融系统的流动性。
市场在美联储的声明后开盘走高10%，但很快抹去涨幅，继续探底。到中午，市场买盘完全消失，CBOE和CME不得不暂停期货和期权的交易。
周二下午，里根接受采访，回应市场最担心的问题，声明愿意削减政府赤字。
至此，在组合保险策略最大的工具标普500期货被暂停之后，股票市场才停止下跌。市场最黑暗的一周终于结束。
波动，生而不平等

投资策略常见的一类失败原因，就是我们常常忘了策略原本是建立在一些隐含假设之上的。大部分情况，假设成立。但是恰恰在某些关键时期，假设坍塌了。
组合保险策略，包括其底层的Black Scholes的期权复制理论，隐含了一个假设：那就是无论在什么市场条件下总能找到交易对手，在连续的价格变动下执行交易。
这个假设合理吗？大部分市场情况下没问题。
但是，如果很多人都用保险组合策略，一路追涨，最后还能找到足够的接盘侠吗？
1987年股灾的回答loud and clear：不能。
金融理论给了投资者强大的工具描述这个市场。但是它的脆弱之处在于，理论广泛应用之后，反而破坏了其得以成立的市场结构。
在1990年的Risk杂志上，Black亲自吐槽了Black Scholes模型：
"搞不懂人们为什么还在用Black Scholes模型，它的假设太简单，简单到离谱。模型并不符合实证检验。如果非要找个解释的话，只能说是使用者挨个洗脑，假装这个模型还不错。”
Black Scholes模型里最大的槽点，就是假设基础资产符合对数正态分布，并且波动率不变。
但真实的市场波动并不是这样。
从近几十年标普500和上证综指的图中可以看出，大部分时间市场每日涨跌幅都比较平稳，但是会突然出现波动急剧放大，并持续一段时间，这就是常说的波动率簇集（volatility clustering）。
波动率簇集的成因很多都是市场过度拥挤后出现的集体出逃。
动态对冲复制期权本来用的好好的，突然天变了。本来下跌1%、2%就能止损的市场，突然没了交易对手。再次能成交时，已经下去20%了。

图7. 1980年至今标普500指数（左轴-绿线）及其每日涨跌幅（右轴-白线）

图8. 2000年至今标普500指数（左轴-绿线）及其每日涨跌幅（右轴-白线）
波动率曲面的崛起

教育小孩儿别玩火最有效办法，是让他多烫伤几次。
87年之前，市场的运行规律与Black Scholes模型的假设大体相似。因此，不同执行价格的期权的隐含波动率相差不多。87年股灾开始，活下来的投资者发现，复制低执行价格期权的成本远高于复制高执行价格期权的成本。只能乖乖的将较低执行价格的期权的隐含波动率抬得更高，从而形成了隐含波动率向右下方倾斜的形状（下图绿线），也就是常说的波动率skew。

图9. 87年之前（绿色）和87年之后（橙色），不同执行价格的标普500期权的隐含波动率（横轴为执行价格与股票现价之比）上图绿线为同一个到期日、不同期权的波动率skew。如果将不同到期日的波动率skew画在三维图中，就有了所谓的波动率曲面(vol surface)：

图10. 标普500期权隐含波动率曲面在Black Scholes的框架下（你不知道的Black Scholes：雏形），我们来分析一下实际对冲过程中，股票不按隐含波动率变动的情形：
使用dollar gamma为权重，将每日股票的波动率进行加权的一个加权平均值。
下图可以生动地展现这种关系：股票从期初到期末每日的价格路径如蓝线所示，每日股票的波动率等于红线的高度。对于某一个执行价格的期权，每个时刻其dollar gamma等于对应绿色网格的高度，该高度就是对当日股票波动进行加权的权重。

图11. 股票路径（蓝线）中每一步dollar gamma的权重（对应点绿网的高度）期权的gamma峰值出现在执行价格附近。也就是说，不同执行价格的期权对应的绿网的峰值出现的位置不同。这也就解释了为什么股票未来的路径是唯一的，但是不同期权的隐含波动率却可以不同。因为每个期权对股票波动的加权方法不同，所以求出来的平均值自然不同。

图12. 不同期权的dollar gamma的峰值分别在各自的执行价格K附近
美股的特点是慢牛快熊。下跌的时候异常猛烈，比如87年。这时每日波动很大。也就是说，资产的价格与其波动率呈负相关关系。
很不幸，当初执行价格较低的期权这时反而成了ATM，正遇上dollar gamma的峰值。所以对这些高波动日期给的权重就很大，从而造成波动率的加权均值很大。而原来执行价格较高的期权此时的dollar gamma已经接近0，对这些高波动日期给的权重就非常小，算下来波动率的加权平均值就很小。
以上给出了期权波动率skew的合理水平，企图可以估算目前市场的波动率skew是否有投机机会。
当然，市场并不一定按照公允价值的水平成交。很多时候还是要看市场供需。标普500的skew非常陡峭的很大一部分原因还在与很多机构买入低执行价格的股指期权进行尾部保护。
但是A50 ETF的期权的波动率skew却平衡很多。根据公允skew的测算，卖出A50虚值看跌期权的投资者没有拿到合理的风险补偿。这一方面说明投资者还是喜欢买入看涨期权搏高收益。另一方面说明，市场大部分人还不太注重回避剧烈的下跌风险。
这也印证了很多人的猜想：美国投资者更喜欢收益，中国投资者更喜欢风险。

图13. A50 ETF期权的波动率skew上述分析隐含波动率的公式需要很多条股票的路径，才能给出一个统计估算。但是历史路径只有一条，要有效地计算公允skew得水平，还需要回到无套利的分析框架。
理论的进化与对冲的迷局

做市商在完成衍生品做市义务后，要将衍生品头寸的风险尽可能多地对冲掉。
因此对业界来说，能否在存续期内将对冲后的剩余风险最小化是评价模型优劣的唯一标准。

1. 局部波动率模型
自80年代开始，华尔街开始认识到了金融理论的价值，加大吸收学术人员。1984年，Fischer Black加入高盛，成立了量化策略部。第二年，部门挖来了贝尔实验室的Emanuel Derman。
Derman在1990年开始接触波动率skew的问题。当时各大做市商都在开发更精准的模型，企图在期权市场套利。同Derman赛跑的，还有Paribas的Bruno Dupire。
1994年1月，Dupire在Risk杂志上发表了"Pricing with a smile"。同年2月，Derman也在Risk发表了"Riding on a smile"。
两篇论文殊途同归，从不同的方向指向了同一个解决方案：local volatility model。

图14. 从波动率曲面（右图）推导出股票的局部波动率二叉树模型(左图）而秉持法国数学家一贯的严谨，Dupire证明了local vol的唯一性，并且给出local vol与期权价格的数学关系：

Calendar spread反映的是波动率曲面在时间轴的斜度，而butterfly spread反映的是波动率曲面在空间轴的弧度。因此，隐含波动率曲面的形状决定了每个节点局部波动率的大小。
具象到Derman的二叉树中，红色节点的局部波动率由且仅由三个黑点对应的期权市价决定。

图15. 由三个期权报价剥离二叉树节点的局部波动率
以上公式太过晦涩，我们不妨直观地看一下local vol模型真正的经济学含义。
1998年，Patrick Hagan使用的摄动法计算出了Black Scholes模型隐含波动率与local vol模型隐含波动率的近似关系:

假设股票变动前，波动率skew的形状如下图黑线所示。
如果股票价格变动，但是变动之后各执行价格期权的隐含波动率不变，skew还呆在这条黑线，我们把这种skew动态称之为sticky strike。这种市场情景更符合Black Scholes的描述，即期权的隐含波动率不随市场的变化而改变。
Local vol模型的预测是，在股价从50上涨到55元（右图）后，执行价格为55元的期权的隐含波动率会等于股票价格变化前执行价格为60元的期权的隐含波动率16%（黑线在60的高度为16%)。也就是说，按照local vol模型，波动率skew会从黑线变为浅绿线。
按照市场惯例，我们把这种skew动态称之为sticky local vol。

图16. 市场下跌（左图）和上涨（右图）过程中波动率skew的四种典型变化

2. 局部波动率模型的对冲效果
讨论完理论之后，我们要回到一个特别现实的问题：Local vol模型能帮做市商赚到更多钱嘛？

3. 随机波动率模型
上述分析中可以发现，local vol模型只能应对股指期权市场中较常出现的情景，而无法应对某些特殊情形。比如2018年1月份，股指暴涨，同时实现的波动率也在上升。
从图16中可以看到，即使在常见的市场情景中，波动率skew的变动幅度也被local vol模型限定得非常狭窄。这是因为local vol是股票价格和时间的确定函数，没有自己额外的自由度。
但是交易员都知道股指价格和波动率相关性不是100%，波动率也可以很任性。
此外，并不是所有的资产的价格和波动率相关性是负数。下图是标普500、vix、黄金、原油四种资产的波动率skew。从skew的形状我们可以轻易推测出，VIX的价格和波动率是明显的正相关，黄金的价格和波动率的相关性比较平衡。
Local vol描述的波动率曲面变动特征无法描述这些资产的期权市场。

17. 几种典型的波动率skew形态
2002年，Bear Stearns的Patrick Hagan发表了论文“Managing smile risk"。在研究利率期权时，Hagan发现local vol描述的波动率skew动态很多时候与市场实际情况相反。为了更灵活地描述波动率动态，他开发了一种随机波动率模型：SABR (stochastic alpha beta rho)。
随机波动率模型是局部波动率模型的扩展，拥有更多自由度，可以通过不同的参数配置获得更多波动率形态。
推出之后很快被应用到股票、汇率、商品等期权市场。

图18. Alpha影响skew的高度（左上），Rho影响skew的斜率（左下），v影响skew的弧度(右下），beta既影响斜率又影响弧度（右上）。
四个模型参数给了足够的自由度来拟合市场skew，但是同样带来了麻烦。如下图所示，不同的参数组合能完美拟合同一条市场skew。

图19. 不同的参数组合可以拟合同一条市场skew曲线如何合理选择参数来描述当前的市场？
麻烦就留给了交易员。

4. 随机波动率模型的对冲效果
我们先来做一个思想实验。

图20. 市场下跌（左图）和上涨（右图）过程中波动率skew的四种典型变化

5. 回到交易
去年听一个券商讲他们开发的一款A50期权skew分析工具，可以根据历史回归发现交易机会。
可是真实世界没有这么简单。
假设投资者进行了一笔long skew的交易：买入OTM的看跌期权，卖出相同delta的OTM看涨期权，一个标准的risk reversal交易。
一般来讲OTM的看跌期权的隐含波动率更高，所以theta也更高，为了弥补看跌期权每天多损失的theta，市场如何变动才能盈利呢？
在较长的观察区间，平静上涨的市场中，波动率曲面更符合sticky delta的规律。也就是说ATM的波动率不大变动。因为波动率不会下降到0，也不会上升到无穷高，所以，即使资产价格变化，ATM的波动率基本不变。
短期如果股市平静波动，或者小幅回撤修复时期，波动率曲面更符合sticky strike的规律。
短期如果股市有较大回撤时，波动率曲面更符合sticky local vol的规律。
如果出现黑天鹅，那么短期波动率会大幅跳涨，幅度超过sticky local vol的变化（见图20），我们称之为jumpy vol。
在sticky delta的市场情形下，long skew交易不仅输skew theta，由于股票的下跌，波动率下跌，而此时put的vega损失还要高于call的vega盈利（vanna效应），交易亏损。
在sticky strike的市场情形下，波动率不动，没有vega方向的盈亏，但是long skew交易仍然输skew theta，亏损。
在符合sticky local vol波动特性的情形下，股票价格的波动正好符合local vol模型描述的动态。根据local vol的定义，只有股价是随机波动的。只要对冲掉股价风险，那在每一小段时间内，Black Scholes方程都成立，期权的theta损益正好等于gamma收益，盈亏正好抵消。这种情形下，skew trade盈亏打平。
只有在黑天鹅情形下，波动率曲面跳涨幅度高于sticky local vol，那put的vega收益才能高于call的vega损失（vanna效应），long skew才能盈利。

图21. Long skew交易在四种市场情景下的损益分析
对期权这种复杂的产品，看上去好像有个真实而神秘的波动率曲面”市场“，其实背后不过是一样摸不着头脑的做市商交易员，用着类似的一些模型对曲面进行报价。
而懒散的交易员甚至可能会只定时更新波动率的高度，而斜率和弧度，恐怕只有等市场异动时，才想起调整。
哪个模型拟合市场的参数稳定性更好，说明做市商可能也是这么想的。
交易策略是定价理论最好的试金石，而定价理论是交易策略最好的培养皿。

久利之事勿为，众争之地勿往

与市场的恐慌相反，1987年经济并没有出现大问题。1988年的第一季度，GDP增长2%，二季度加速到5%。
黑色星期一，只是一场过度拥挤造成的技术性调整。
两年后，标普500收复了全部失地。
但是，面对迅速、复杂、神秘的危急时，人群的反应恐怕要让很多学者失望。
人会恐惧，至少大部分人会。我们不是学术假设中理性的投资者，将来也不会是。
LOR坚信股价下跌总能吸引来买家。但如果所有人都要卖，谁来做接盘侠？
投机者天生是个贬义词。好像油价上涨、粮农亏损都是他们的责任。
但如果没有投机者随时站出来为市场提供流动性，谁来做套保者的对手盘？
87年股灾，教会了市场参与者应对更加复杂的市场。
更重要的，是让国会的老爷们不再对投机者充满恶意。

此后30多年，标普500的期权已经成长为股票市场最主要的套保工具。
2018年日均交易量137.8万张合约。以此时标普500点数2800点，合约乘数100计算，日均期权交易的名义本金为3858亿美元。

图23. 标普500指数期权合约每日交易量（白线，单位：百万张），绿线是交易量的200日均日
下图是2017年2月28日美国股票市场交易的期权费分布。单标普500一项就达到了19.3亿美元，占市场50%以上份额。而苹果、亚马逊、特斯拉等最活跃的股票期权只占很小份额。这从侧面说明，在美国市场，更多的人用股指期权对冲持仓风险，而不是进行股票投机。

图24. 美国股票市场期权费分布（2017年2月28日，单位：百万美元，数据：Trade Alert）
对比全球主要市场的期权流动性，经历87年股灾洗礼的美国市场已经遥遥领先。

图25. 全球主要股票市场中期权流动性比较
被污名化的衍生品，一直扮演着资本市场最有效的风险定价和转移的工具，给投资者带来了更多的安全感。
即便是在2008年。