权益类随机波动率模型 - 沪深300指数波动率曲面

继上次权益类局域波动率模型，今天我们来继续以沪深300指数为例聊聊盛行在各大国际投行的随机波动率模型 – Heston模型。

如之前提到过，在金融衍生品估值理论里，我们常假设标的（权益或外汇）符合对数随机模型，

这里\sigma是标的波动率，\mu是标的漂移项，W是布朗随机过程。如果我们定义标的波动率是时间的随机函数，那这个模型就叫做随机波动率模型（stochasticvolatility model）。这里面最有名的莫过于Heston模型，其定义为，

这里v表示随机波动率，v0是随机波动率的初始状态，\kappa是随机波动率的回归速率，\theta是随机波动率的回归均值，\xi是随机波动率的波动率，\rho是标的和随机波动率的相关性。

简单分析一下，我们大概知道在Heston随机波动率模型里，
-    v0和\theta主要影响波动率的绝对大小-    \kappa, \xi, 和\rho主要影响波动率的微笑实际工作中，因为\kappa更多会影响波动率的绝对大小，我们为了简化Heston，常常预设一个固定值。同时，为了更好的拟合波动率曲面，这些Heston参数往往定义为时间的函数，这也给模型创建增加了很多困难。

大概知道了Heston参数的意义，我们就可以知道如何去校准一个Heston模型，
-    v0和\theta校准至ATM标的波动率-    \xi, 和\rho校准至标的波动率的微笑
教科书上有很多通过傅里叶变换的来描述市场波动率和Heston参数间的半解析关系，这里就不在累述，简单来说，我们有，

这样我们就可以结合一个多维优化算法校准Heston模型至市场波动率曲面。

上面的总结看起来比较简单直观，但实际工作中，校准Heston是个极其复杂和相对困难的数学问题，因为它在多维空间存在很多局域优化解，譬如由于波动率模型在短期有极强的波动率微笑，短期随机波动率的波动率会非常大（常常150-300%），从而对交割日较远的波动率微笑的校准产生极大的问题。

为了简化Heston波动率模型或者换句话说让Heston更有实际工作意义，我们重新调整了标准Heston公式，我们叫做正则化的Heston模型，它有以下几个显著优点，
-    自动校准至标的的ATM标动率期限结构-    具有较少的模型参数（标准Heston有至少4个参数，正则化的Heston只有3个参数），从而提高模型的稳定性-    Black-Sholes模型是正则Heston的特例
现在我们用2021年3月某天的沪深300指数市场波动率曲面来具体看看。由下图所示沪深300指数市场波动率，短期有很强的波动率微笑，随着时间的变化，波动率微笑慢慢变平，这也符合金融理论（期权价格和到期日平方根的关系）。

我们提前创建了人民币贴现曲线和沪深300指数的远期曲线，我们在Excel里用我们的正则Heston模型校准以上非套利处理过的沪深300指数市场波动率曲面。

首先，如下图所示正则Heston模型输出，可以很明显看出，
-    对于极短期(1M-3M)曲面区域，由于波动率微笑太过强烈，拟合不够理想，但拟合较差部分基本在Vega较小的区域（如上图Vega曲面所示），因此对估值影响不太重要-    对于曲面其余部分，波动率曲面拟合的很好

我们可以再来看看价格曲面的拟合程度，很明显可以看出Heston模型对沪深300指数拟合误差还是很小的。

其次，我们再来仔细看一下正则Heston拟合ATM波动率如何，如下图所示市场ATM波动率和模型ATM波动率，基本完美匹配，这对于估值和风控非常重要，譬如我们可以假设微笑结构不变而曲面主要由ATM波动率来控制，从而大大简化估值以及风控对冲策略。

最后，我们再来看看正则化的Heston控制波动率微笑的两个核心参数随着交割日的时间函数，可以看出它们随时间的变化都比较平滑，这对使用随机波动率模型来估值的稳定性有极大的帮助。

至此，我们以沪深300指数为例讨论了我们的局域波动率模型和随机波动率模型，下次，我们以市场火热的雪球期权为例来聊聊它在这两种模型下的估值差异。