来源：上海濡圣投资管理有限公司
公众号ID：DeltaExchange
到期日一般为 1 个月的期权，交易日大概是 20 天，通过 20 天历史波动率可知，20 天历史波动率同隐含波动率一样也是变化的。在计算 20 天历史波动率时计入该 期间的数据不断在变化，利用该数据求得的波动率必然也会随着数据的变化而变化。
当然，在市场波动较小时期权波动率的变化也较小，反复急涨、急跌的市场历史波动率也会较大。
理解波动率微笑现象要从期权平价中理解隐含波动率的特征开始。期权平价可以用下面公式两种方式表达。
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在上面两个公式中，CM,PM 分别为认购期权和认沽期权的市场价格，CB,PB 是用 B-S 模型计算的理论价格。认购期权的 B-S 模型理论价格可用CB=CB（S,X,T,r,σ）表 示。该函数中标的资产价格、行权价、到期时间、利率（STXr）均为市场中公开的值。只有从现在到到期日的标的资产波动率（σ）是未知的。隐含波动率（σIM ）是 使得市场价格（CM）和 B-S 模型理论价格（CB）相等的波动率，因此下面公式成立。
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上述公式是认购期权公式，认沽期权也有相同类型的等式成立，公式如下。
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通过开始介绍的平价期权的公式可得到如下公式。
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这表示认购期权和认沽期权的理论价和市场价之差总是相同的。若使得 CM=CB 成立的隐含波动率 σIM =30%、PM=PB，公式可变为：
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B-S 模型的变量 S, X, T, r, σ 在认购期权和认沽期权公式中都是相同的值，因此 CM=CB 成立的认购期权的隐含波动率和 PM=PB 成立的认沽期权隐含波动率应为相同的值，所以，可总结为相同行权价、相同到期日的认购期权和认沽期权的隐含波动率应相同。
把上面的讨论扩展到不同行权价的期权。相同到期日的期权中有 X1,X2,...等对应于不同行权价的期权平价值，也会有对应该行权价的多个隐含波动率（σ1, σ2,...）的 值。但隐含波动率是市场参与者对当前时点到到期时点的标的资产波动率的预测值，是与行权价无关的标的资产波动率的预测值。因此，该预测值在理论上应相同 （σ1=σ2=...）。但在现实市场中会如何呢？利用真实的国外期权市场数据分析，会发现平值期权的隐含波动率最小，越远离平值期权，隐含波动率越大，我们称这个现象为波动率微笑现象。
如下图所示的横轴为行权价格，纵轴表示隐含波动率。隐含波动率取值最小 的点正好对应平值期权的点，虚线代表的是 B-S 模型中的隐含波动率，不与行权价相关而取固定值。
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真实市场中的隐含波动率与 B-S 模型的预测值不同，想要得与预测值相同的波动率，标的资产的分布又该如何呢？
如下所示，画出了行权价格不相关的有固定隐含波动率的分布，以及根据 行权价呈现隐含波动率微笑形态的分布。
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图中的实线表示标的资产收益率服从对数正态分布，虚线代表可以解释波动率微笑的分布。市场中经常发生的波动率微笑现象无法用假设标的资产服从对数正态分布的 B-S 模型解释。波动率微笑现象只能用极端情况比正太分布更厚的厚尾 分布来解释。下面我们用沪深 300 指数看一看中国市场呈现哪种分布。
如下图所示，可以看到日线级别的沪深 300 指数的变动与对数正态分布有明显的区别。相比对数正态分布，更接近于上图中的虚线形态。严格来讲，左尾相似度较高。
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图：沪深300指数日线对数收益率分布
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