关于利率期权定价与波动率曲面构建的思考

内容提要
在利率期权市场推动初期，尤其是市场流动性和交易量不足的情况下，如何选择合适的利率期权定价模型和稳健的波动率曲面构建方法将是促使市场机构参与交易的重要因素。文章基于远期利率满足正态分布这一假设，运用正态（Normal）模型对利率期权进行定价，并通过三次样条插值的方式，对波动率曲面进行了建模。

随着我国利率市场化进程的不断深入，银行间对人民币利率期权的需求日益彰显。为切实支持浮动利率贷款基准转换的顺利推进，2020年3月23日，全国银行间同业拆借中心推出LPR利率期权业务。在利率期权业务开展初期，尤其是市场流动性和交易量不足的情况下，如何选择合适的利率期权定价模型和稳健的波动率曲面构建方法将是促使市场机构参与交易的重要因素。本文基于远期利率满足正态分布这一假设，探讨运用正态（Normal）模型对利率期权进行定价，并通过三次样条插值的方式，对波动率曲面进行建模。

一、定价与估值

（一）基于对数正态分布假设下的估值模型
假设
满足对数正态分布，即
，则

其中，Z是标准正态分布随机变量，则
的标准差为：

从上式中可以看出，若
满足对数正态分布，则其标准差随着
的增大而增大。为了验证该假设是否成立，笔者选取了2012/5/21至2020/5/8的5年期FR007利率互换收盘价作为研究对象，样本点共1987个。其在不同利率水平下的每日变动情况如图1。

图1  不同利率水平下5Y FR007利率互换每日变动

从图1中可以看到，在不同利率水平下，5年期FR007利率互换的每日变动情况没有明显差异，说明
满足对数正态分布这一假设并不完全适用。
（二）基于正态分布假设下的估值模型
基于上文的实证结果，本文假设标的利率满足正态分布，即假设标的利率每日变动情况不随利率水平的不同而发生明显变化。
1.利率互换期权
利率互换期权是标的为利率互换的期权。利率互换期权分为两类：固定利率收取方互换期权的持有者有权在利率互换中收取固定利率，固定利率支付方互换期权的持有者有权在利率互换中支付固定利率。对于一个执行利率为X的T进n固定利率支付方互换期权，以及一个执行利率为X的T进n固定利率收取方互换期权而言，假设每年支付利息m次，名义本金为1，则利率互换期权的每一期支付金额如下：
固定利率支付方=

固定利率收取方=

其中，R为期权到期日T、标的利率互换的价格，这些现金流会在未来n年支付，每年支付m次，支付时间为
。
考虑到当前市场负利率的出现，本文假设远期互换利率服从正态分布，即

其中，F为期权到期日T的远期互换利率。
此外，为了便于理解，本文假设贴现曲线与远期互换利率相互独立，则利率互换期权的定价公式如下：
固定利率支付方=

固定利率收取方=

其中，

，
，
，
。
2.利率上下限
利率上限是利率的看涨期权，当标的利率超过执行利率时，利率上限的持有者将获得交易对手支付的现金流。利率上限可以看成一系列利率上限单元的组合，对于一个执行价为X的n年期利率上限，假设每年支付利息m次，名义本金为1，则利率上限单元的每一期支付金额如下：

其中，
为
时刻、标的利率的价格，支付时间为
，t[sub]0[/sub]为当前时刻。
类似地，假设远期利率满足正态分布，即

其中，
为
时刻，标的利率的远期利率。
同样地，假设贴现曲线和远期利率相互独立，则利率上限的定价公式如下：

其中，

,
,
。
利率下限是利率的看跌期权，当标的利率低于执行利率时，利率下限的持有者将获得交易对手支付的现金流。利率下限可以看成一系列利率下限单元的组合，对于一个执行价为X的n年期利率下限，假设每年支付利息m次，名义本金为1，则
利率下限单元的每一期支付金额如下：

与利率上限同理可得，利率下限的定价公式如下：

二、波动率曲面构建

（一）样本点选取
国际市场一般以期权波动率作为波动率曲面的样本点。考虑到目前中国市场以挂钩LPR的利率期权为主，可选取以下波动率作为曲面样本点。

表1  利率期权波动率曲面样本点

（二）曲面构建——三次样条插值
由于三次样条相比线性插值等插值方式而言，可以构造出更为平滑的曲线，因此本文在构建波动率曲面时，对方差在执行价维度和时间维度均采用三次样条的插值方式。假设已知
，则需对以下函数的参数求解：

假设节点
连续，则可以得到4个方程；假设节点
可导，则可以得到2个方程；假设节点
凸性相同，则可以得到2个方程；端点
已知，可以得到2个方程。此时，可以假设
为线性函数，则可以得到2个方程。综上，12个方程可以对以上12个未知参数进行求解。

三、实证分析

（一）样本点选取
以期权标的为LPR1Y_1Y的利率互换期权为例，选取2020年5月11日的波动率中间价，并选取5月8日LPR1Y_1Y的收盘价作为执行价X，根据表1所示，该曲面共有42个样本点。
（二）曲面构建
通过对方差在执行价维度和时间维度分别使用三次样条插值方式，可以得到如下波动率曲线与曲面（见图2、图3）。

图2  LPR1Y_1Y利率互换期权在2020/06/11的波动率曲线

图3  LPR1Y_1Y利率互换期权在20200511的波动率曲面

四、总结

定价方面，相比传统的对数正态（Log-Normal）模型，正态(Normal)模型能够更为准确地反映出不同利率水平下波动率的真实情况，并且能够解释可能出现的负利率情形。值得注意的是，由于LPR的报价并不连续，其远期利率的分布并不能由正态分布充分解释，后续可考虑提出新的分布假设。曲面构建方面，三次样条插值能够构建出较为平滑的曲面，防止跳跃对期权估值造成的影响。当然，为更精确地描述偏斜情况和期权价格动态过程，后续可考虑采用SABR等模型。

作者：高龚翔，国泰君安证券股份有限公司；梁威，复旦大学
原文《关于利率期权定价与波动率曲面构建的思考》全文将刊载于中国外汇交易中心主办《中国货币市场》杂志2020.06总第224期。

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