期权 | 从复制成本看波动率微笑

根据BSM模型，我们可以从期权价格得到隐含波动率（IV）。在实际中，人们发现，同一期限，不同行权价的IV并不一致。往往，OTM和ITM期权的IV要高于ATM，这就是波动率微笑（如下图所示）。

对于产生波动率微笑的原因，有很多解释。一个常见的解释是：OTM期权杠杆高，买OTM期权可以获得较好的保护，从而抬高了OTM期权的IV。OTM期权的IV提高了，根据put-call parity，相应的ITM期权的IV也得以提高。

但这样的解释似乎有点表面了，让我们更加深入地来讲讲波动率微笑形成的原因。

在无套利的世界中，金融衍生品的价格就是其构造成本，即复制成本或对冲成本。期权的独特之处在于，我们需要使用动态对冲方式进行构造，而这一（动态对冲）过程的结果是呈现随机分布的。对于ATM期权和OTM期权，其分布特性大不相同。

假设：
S0=100
r=0
sigma=20%
d2m=30 （距离到期30天）
transaction_cost=0

以下是一个ATM看涨期权 (strike = 100) 的动态对冲复制成本。复制成本的均值 = 2.285（ ~= 期权理论价值），标准差为0.357。

以下是一个OTM看涨期权 (strike = 110) 的复制成本，均值=0.1193（~=理论价格），标准差=0.1612。看出什么不同了吗?

虽然复制成本的均值都等于理论价格，但离散程度太不一样！对于每单位复制成本的标准差（标准差/ 复制成本），OTM期权要远高于ATM期权——
ATM Call = 0.15
OTM Call = 1.45

从图上也可以看到，OTM期权复制成本的尾部风险更大。怎么管理尾部风险呢？——没办法管理，只能卖得更贵些。这就是OTM期权的IV要高于ATM期权的根本原因！