利率期权了解一下：浅谈人民币利率期权定价与波动率曲面构建

内容提要

我国利率衍生品市场的飞速发展预示着人民币利率期权的推出时机或已成熟。然而在市场推动初期，由于市场流动性欠佳或交易量不足等原因，利率期权的定价将存在一定的挑战性。
本文以普通欧式利率期权为例，从理论角度介绍标准市场模型下的定价实现以及市场中常见的波动率曲面构建方法，以期为我国推出人民币利率期权提供建议与参考。

一、利率期权概述
利率期权是指收益依赖于未来利率水平的期权产品。虽然目前我国尚未正式推出利率期权业务，但随着利率市场化进程的加速深入，人民币利率期权的推出已计日可期。
按合约特性，利率期权可分为普通香草式期权(Plain Vanilla Options)和奇异期权(Exotic Options)。
普通香草期权主要包括债券期权(Bond Option)、利率上/下限(Cap/Floor)、互换期权(Swaption)、利率期货期权(Option on Interest Rate Futures)等。奇异期权则通常比普通香草期权具有更复杂的结构，如百慕大期权(Bermudan option)、跳动上限(Ratchet Cap)等。
综合我国市场现状，货币市场利率期货产品尚未推出，国债期货市场目前期限品种相对较少，而以上海银行间同业拆放利率(Shibor)和银行间回购定盘利率(FR/FDR)为主的货币市场基准体系已基本成熟，以Shibor和FR/FDR品种为基准的互换已成为银行间最主要的衍生品，这为下一步设计推出适合我国市场的利率期权产品提供了必要的市场条件。
因此笔者认为，最有可能率先推出的将是基于货币市场基准利率的利率上/下限和互换期权等普通欧式人民币利率期权。
利率期权定价模型种类繁多，在国际成熟市场中主要应用的定价模型包括Black模型、利率期限结构模型(Affine Term Structure Model)和Libor市场模型(Libor Market Model)。
其中，Black模型的计算公式较为直观且易于处理，目前在国际市场中应用广泛，是普通利率期权报价采用的标准市场模型。其可作为我国利率期权市场发展初期较好的选择。而对于利率期限结构模型和Libor市场模型等，则可在市场进一步成熟后逐步推广应用。
另外，利率期权定价参数除利率曲线外，通常还需要波动率曲面(立方)，而波动率曲面(立方)的构建方法也并不唯一。在市场推动初期，尤其是在市场流动性不足或交易量低下的情形下，如何构建稳健的波动率曲面将成为影响定价的重要因素。
综合上述，下文将以利率上/下限期权和利率互换期权为例，详细描述标准市场模型(Black 模型)下的定价实现以及常见的波动率曲面(立方)的构建方法，以期为我国推出人民币利率期权提供建议与参考。

二、利率期权的结构与定价

(一)利率上/下限(Cap/Floor)
1.Cap/Floor的结构特性
利率上限(Cap)的标的通常为反映市场利率水平的浮动利率，其买方可在标的利率高过协定的利率上限的每段期间结束时获取两者之间的差额收益。利率上限的结构可以看成是一系列利率看涨期权的组合。
类似的，利率下限(Floor)的买方可在标的利率低于约定的下限利率的每段期间结束时获取两者之间的差额收益。利率下限可以看作是一系列利率看跌期权的组合。
由上述可知，利率上/下限与普通股票期权一样，具有亏损有限(期权费)，收益无限的特点。
2.Black 模型下的Cap/Floor定价
在Black模型理论框架下，利率上/下限的定价公式实际上是在远期测度下构建的模型，因此利率上/下限的定价模型又称为Lognormal forward-LIBOR model (LFM)。
假设利率上/下限第k个子期权的标的，即
时刻观察到的
到
的远期利率
，服从对数正态分布，通过推导我们可得到欧式利率上/限的定价公式：
公式1

公式2

公式3

其中
为远期利率
的波动率，
为第k个子期权交割日对应的贴现因子，
为表示标准正态分布的累积概率密度函数。

(二)利率互换期权(Swaption)
1.Swaption的结构特性
利率互换期权是标的为利率互换合约的期权产品，一般可分为Payer Swaption和Receiver Swaption。
Payer Swaption赋予买方权力可在将来某个时刻按约定的互换利率进入一个支付固定利率、收取浮动利率的互换合约，相反地，Receiver Swaption赋予买方权力可在将来某个时刻按约定的互换利率进入一个收取固定利率、支付浮动利率的互换合约。
利率互换期权一般通过期权期限、标的互换期限、约定利率和交易方向来标识，如1Y x 5Y 3% Payer Swaption表示期权买方有权在1Y内以3%的互换利率进入一个期限5年的支付固定利率、收入浮动利率的互换合约。
2.Black模型下的Swaption定价
类似的，利率互换期权在Black模型下的定价公式又被称为Lognormal forward-Swap Model(LSM)。
假设时刻t到期的互换期权的标的利率
服从对数正态分布，通过推导我们可得欧式利率互换期权的定价公式：
公式4

公式5

公式6

其中
为远期互换利率
的波动率，
为表示标准正态分布的累积概率密度函数。

三、波动率曲面(立方)构建

(一)利率顶波动率曲面(Caplet Volatility Surface)
对于普通的欧式利率上/下限以及互换期权，市场以Black模型的隐含波动率进行报价。
根据利率上/下限的定价公式可知，每一个利率上/下限的子期权均采用相应期限上的波动率，这些波动率被称为即期波动率(Spot Volatility)。
但在实际市场中，市场报价波动率都以单一波动率的形式出现(Flat Volatility)，即所有构成利率上/下限的子期权均采用相同的波动率，图1展示了不同期限和不同执行价格维度上的Cap报价。
图1  美国市场USD 3M Libor Cap报价

资料来源：彭博资讯
简单的波动率曲面的构建过程即将单一波动率中隐含的每一个子期权期限对应的波动率剥离的过程，而剥离后的波动率曲面我们通常称为Caplet Volatility Surface。
在构建好波动率曲面后，理论上我们可以对任意期限、任意执行价格的利率上/下限进行合理的定价。
利率上限波动率剥离的方法有很多，本文将介绍最常见也是最基本的方法：Constant Caplet Volatilities Method。在该方法下，我们假设Caplet的波动率为分段常数，令
表示时间维度，其中
，则
分别表示Cap的不同期限。同时，我们令
表示对应每一个Cap期限的单一波动率，
表示对应的每个期限段内为常数的Caplet波动率。
根据利率上限定价公式，我们可得到分别以单一波动率和即期波动率表示的Cap价格
公式7

其中，
， K为对应所有Cap期限的单一执行价格。由以上公式可知下式成立：
公式8

根据公式7和8，我们可以逐步剥离出每一段时间间隔内对应的即期波动率。此过程为一系列一维根求解的过程，可见该方法简单易实现且对数据样本要求较低。
当然，其使用对实际市场情形进行了较大程度的简化处理。在现实中，市场参与者通常根据市场数据样本选择不同的处理方式。由于利率期权非线性的特性，不同的波动率参数可能导致较大的价格差距，因此Caplet Volatility Surface的构建是对利率上/下限合理定价的前提。而在下文我们将看到，其还将在互换期权波动率立方的构建中起着至关重要作用。

(二)互换期权波动率立方(Swaption Volatility Cube)
相比于利率上/下限的报价，利率互换期权的报价通常涉及期权期限、标的互换期限和执行价格在内的三个维度。而在国外成熟的互换市场中，互换期权的报价通常在执行价格维度上仅覆盖ATM执行价，如图2所示。
图2  美国市场USD 3M Libor ATM-Swaption报价

资料来源：彭博资讯
在图3中，横轴表示标的互换的期限信息，竖轴表示互换期权的期限信息。显然，当市场参与者需要对其他执行价格的互换期权进行定价时需要的波动率并没有包含在其中。
因此我们需要在有限的市场报价基础上，通过某种方式，计算并添加执行价格维度上的波动率信息，最终形成一个三维的波动率对象，即互换期权波动率立方(Swaption Volatility Cube)。
图3  Swaption Volatility Cube

资料来源： Hagan and Konikov(2004)
从图3我们可以看到，在执行价格维度上，虽然市场中未包含相关互换期权的报价，但我们可以充分利用利率上/下限市场中的信息，即Caplet Volatilities。
由于Caplet可以看作是一种标的合约期限单一的互换期权，因此，我们可以将Caplet中波动率在执行价格维度上的微笑形态引入到互换期权在执行价格维度上的波动率的构建中，这样的方式被称为微笑插值。
微笑插值的方法通常分为两类：一类是采用确定性函数进行插值，如简单的分段线性插值；另一类是采用波动率模型进行插值，如使用CEV模型或SABR模型等。
波动率模型的微笑插值通常分为两步: 第一步使用已剥离的Caplet Volatilities对波动率模型进行参数的校准，第二步使用已校准的参数生成不同执行价格状态下互换期权的波动率。
由此可见，波动率模型的校准对市场数据有一定要求，如果数据不足，市场参与者应选用其他方法进行微笑插值。最终获取的Swaption Volatility Cube允许我们对期权期限、标的互换期限以及执行价格的任意组合进行定价。

四、总结
利率期权作为我国利率衍生品市场基础产品最后的空白，其推出已迫在眉睫。
依上述分析，在利率期权市场开展初期，尤其是市场交易量以及流动性尚未充足的情况下，市场参与者应选用合适的利率期权定价模型，如Black模型，并且依据实际的市场数据选用稳健的波动率曲面(立方)的构建方法，这样才能保障交易的预期。
而对市场推出方而言，良好的定价方法体系将保障市场参与者的积极性，以促进市场的良性循环，使其逐步成长为成熟的、完善的利率期权市场。

作者：南晓节，杭州衡泰软件有限公司；刁倩，中国经济信息社
原文《浅谈人民币利率期权定价与波动率曲面构建》全文将刊载于中国外汇交易中心主办《中国货币市场》杂志2019.2总第208期。

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