期权无套利定价理论与套利策略

摘要：
对外期权报价是否合理，是否会存在巨大套利机会而被投机者发现，均取决于期权定价水平，合理的期权定价理论决定着做市商期权报价水平与质量。
那么期权如何定价？仅仅用B-S-M或者二叉树以及蒙特卡洛模拟就够了吗？
以上模型能给我们计算出期权的大致价格，但是该期权价格是否合理？便取决于无套利定价理论的应用。

期权无套利定价理论篇

一对期权进行风险定价的目的
定价的目的：赚取风险溢价的利润
期权的风险溢价为接受附加在给定投资期权上的风险，即也许不能得到其预期收益率的风险，投资者要求超出预期收益率的补偿。这一超额预期收益率就是风险溢价。风险溢价总是正的。风险愈大，预期收益也愈大，风险溢价越高。

期权市场上的套利机会，随着投资者发现的人越来越多，这种溢价区间会消失的荡然无存。解决方法：信息搜集是有成本的，赚取溢价空间，就是在抵补成本。

期权风险定价的评估如下：
1、在险价值 VaR评估：
定义：在险价值是在正常的市场条件和给定的置信水平下，在给定持有时间期限内，不利的市场变动可能造成投资组合的最大损失。

通俗解释：在正常的市场条件和给定的时间段内，发生VaR值损失的概率仅为给定的概率水平。
置信水平、置信度（confidence interval）：95％、97.5％、99％。给定的时间内：针对交易活动的时间可能选取为一天，而针对期权投资组合管理的时间则可能选取为一个月或者一段时间。VaR 是一种对可能实现的价值损失的统计估计, 而不只是一种“账面”损失估计。假设一个期权或者期权组合策略在接下来的10天时间内存在 95% 概率价值损失不超过1,000,000。则我们可以将其写作：

其中为置信度是95% 。实际上，在VaR中询问的问题是“我们有 X%的信心在接下来的 T 个交易日中损失程度将不会超过多大的值”?事情会有多糟糕？在计算VaR中通常使用的置信度是95％、97.5％或99％。如果我们选用的是95％，如图所示（横轴表示投资组合价值变化范围，而纵轴表示变化发生的概率），就是要在图中找到如向下箭头表示的位置，该位置使得价值变化的95％落在右边而5％落在左边，这个位置上的横轴数值就是VaR的值。2.VaR的特点（1）它用一个单一的数字捕捉住了风险的一个重要方面；（2）它容易理解；（3）它询问简单的问题：“情况究竟有多糟糕”?

3. VaR的重要特征
VaR是个总结性度量值，易为高级管理层掌握
VaR要求用随机形式表达一个期权或者期权组合未来的损益（payoff）
VaR值依赖于所选择的时间范围
VaR值取决于所选择的置信水平，概率越大，VaR越大。
4.需要注意的问题
（1）VaR不是万能的，它主要针对的是金融市场风险。
（2）VaR是在假定正态分布的市场环境中计算出来的，这意味着不考虑像市场崩盘这类极端的市场条件。因此，VaR度量的是机构日常经营期间预期能够发生的情况。
（3）VaR的计算至少需要下列数据：投资组合中所有资产的现价和波动率以及它们相互之间的相关关系。通常，假定期权投资组合构成的变动是随机的并服从正态分布。
（4）VaR没有考虑不同工具之间的流动性差异，只是度量了损益分布尾部的一个分位数，因此不能获得整个分部的完整信息。

二期权风险定价背景和依据：

（一）定价原则1、从静态角度看。无风险利率越高，期望收益越高，故未来价格期望值越大，看跌期权的价值越低；而看涨期权的价值则越高。2、期权风险定价下的原则：无套套利定价思路。无风险状态下：V1(0)=V2(0) ,得出，V1=V2,T>=0无风险存贷款为即期与远期利率，我们以shibor利率或者1年期国债无风险收益率为准。有风险的情况下：V1(T)=V2(T)（二）无套利定价——连续复利 1、相对收益：
,
2、对数收益率与连续复利：每年计m次复利，年支付频率逐步增加，当m趋于无穷大时，则出现收益率我们要进行极限处理：

假设数额 A 以连续利率 r 到期时间为T。则期权的终值为：
。而对数收益率是一项期权对应的连续复利利率。

为什么定价中要采取对数收益率？第一、风险计量技术的需要；第二、数学计算方便：可以证明：在一定条件下，期权价值在多个时期的总对数收益率等于其各时期对数收益率之和。第三、在衍生工具定价中，采用连续复合利率可以简化表达。特别是BLACK-SCHOLES模型当中。
三期权的无套利区间

（一）期权的的上下界1、美式期权与欧式期权的关系：
无红利支付情况下,
2、欧式CALL OPTION的上下限 CALL OPTION 的价值：不低于到期内在价值折现值，不高于资产现值。

For example：
我们以焦炭期货2001合约期权为例，采用无收益情况下，进行测算：
S=1970, X=2030,T-t=1M,

看涨期权的价格曲线如下：

3、PUT OPTION  的价值：不低于到期内在价值折现值，不高于执行价格折现值。

For example:我们以焦炭期货2001合约期权为例，采用无收益情况下，进行测算：S=1970, X=2030,T-t=1M,

4、美式期权的上下限CALL  OPTION 价值：不低于内在价值和欧式买权，不高于资产现值。

PUT OPTION 价值：不低于内在价值，不高于执行价格

（二）、上下限的证明—无套利原理应用1、欧式看涨期权的上下限—无收益：
“下限”证明，我们考虑如下两个组合：第一、组合A：一份欧式看涨期权加上金额为
的现金第二、组合B：一单位期货标的资产。证明，在 T 时刻，组合 A 的价值为：max(S , X )，在 T 时刻，组合B的价值为
。由于
。因此，在t时刻组合A的价值也应大于等于组合B 即：

由于期权的价值一定为正，因此无收益资产欧式看涨期权价格下限为:

“下限”证明，反正法。假设在市场上无套利的情况下：构造如下套利策略：第一、 t时刻：卖空1单位期货，买入1单位看涨期权
,剩余收入投资到无风险资产。第二、到期日：ST>X, 按照执行价执行看涨期权，买入1单位，平仓期货空头。ST≤X,从市场上买入1单位，平仓期货空头。通过以上我们可以至少获得收益如下：
,与市场无套利出现矛盾，故原等式不成立。即：
,同时
故
。

1、期权上下限的应用第一、确定期权价值的无套利区间，不依赖模型的第二、上下限关系不成立时，可以构造套利策略
四 期权的套利

（一）、通过看涨看跌平价关系发现期权的套利策略
（1）看涨看跌平价关系  1、欧式买权与卖权平价关系无收益资产：
  2、考虑定价模型时，只考虑欧式期权call option定价。
   平价关系不成立，就会出现套利空间。
（2）期权的套利机会1、
看跌期权被高估了，卖出右边组合，买入左边资产组合。
即：卖出看跌期权，卖空标的资产，买入看涨期权，将执行价格的现值投资到无风险债券
2、
看涨期权被高估了，卖出左边非现金资产，买入右边资产组合。
即：卖出看涨期权，借入执行价格的现值，买入看跌期权和标的资产。
3、美式call option与美式put option的关系。不存在分红的情况下，美式买权与卖权满足下述价格关系：
4、美式期权的平价关系
五更高级别的期权套利机会
1、期权与执行价格之间的关系若固定标的资产价格等因素不变，仅观察执行价X变化带来的期权变化，看涨期权和看跌期权的价值均与执行价格见呈现凸性关系,如下图所示。第一、看涨期权与执行价格的关系

第二、看跌期权与执行价格之间的关系如下：

2、期权的套利命题命题1、两种其他条件相同的欧式看涨期权（或欧式看跌期权）的价格差的绝对值不会超过它们执行价格的差异现值的绝对值。

不同执行价格之间的期权套利：

套利策略是需要金融工程理论支撑的策略，其中平价关系是相对简单又非常实用的。现实不是越复杂而精确越好，而是越简单而有效好。

期权套利实务案例篇

我们采用期权套期案例均以场外业务over-the-counter为实务案例，不采用场内期权，因为场内期权在定价的过程均已经按照无风险套利机会进行定价，所以基本不存在套利空间，但是场外业务由于各家的定价方式都不一样，存在较大的套利空间，所以我们要积极介入。欧式期权平价关系：

我们以焦炭j2001价格为例：

存在套利机会套利空间约为4.42

下面我们按照三家做市商的报价分别计算出套利区间：第一家做市商报价：

第一家做市商报价套利区间约4.75

第二家做市商报价：

J2001.DCE，2019/10/11， ref1968，客买2000Call，44.53元
J2001.DCE，2019/10/11， ref1968，客买2000Put，76.53元
J2001.DCE，2019/10/11， ref1968，客买2100Call，17.75元
J2001.DCE，2019/10/11， ref1968，客买2100Put，149.75元

第二家做市商报价套利区间约4.37

第三家做市商报价如下：
S=1975,X=2000, LONG CALL=47.31
LONG PUT=61.12

第三家做市商的报价套利区间6.82

从我们自己计算出的期权平价理论与三家做市商的报价，我们可以得出一致的结论，
Long call @1970，x=2000,1 M
Short put @1970，x=2000,1M
Short j2001@1970
投稿及合作请联系"zhengran@315i.com"

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