狼说期权第二期：股价运动与期权定价

这是我的第一期，欢迎大家前去观看。

   传送门：www.optbbs.com/thread-971-1-1.html

   狼君认为“脱离标的价值或定价谈投资基本是耍流氓”，但到似乎更应数学化的期权，反而想强调：不可太执着数学。理解定价逻辑及暗含缺陷，远比数学推导重要，纯“数学派”偶尔做傻事，一次玩完，如08年美国次贷，保尔森的交易对手们依据“保险精算定价”不断卖出CDS，结果亏到破产。本篇在平价图景后，继续谈谈一说期权，就必然绕不开的股价运动、定价以及所谓希腊字母。

     一、股价运动
   （1）股价运动的假设

   A. 股价随时间演化并具偶然性，期权定价时将股价随时间演化假设为连续变量随机过程（实际上股价为离散值），并假设当前股价包含了过去价格的所有信息，也称“马尔科夫性质”或“弱型有效市场”。以上假设，应该说具有较大合理性，ETF比个股符合更好，想想个股股价跳空缺口远多于ETF吧。

   B. 有了假设A，进一步假定股价的对数服从正态分布，也称股价服从对数正态分布、几何布朗运动或广义维纳过程。大家知道正态分布的概率密度函数是对称的钟形曲线，变量可正可负，对数正态分布下，股价只能在0以上运动，并且不同于与正态分布的对称性，它呈偏态。

   （2）股价运动的概率计算
   A. 在对数正态分布下，给定现价、年化波动率、期限内，股价和概率就一一对应了。如50ETF现价2.122元，年化波动率0.345，则半年后股价运动到2.3元以下的概率为62.9%，一年后股价仍在2.3元以上的概率为59.2%。

   B. 经常说“股票向上（或向下）运动n个sigma”之类的，是什么意思？向上是指股价从现价s0爬升到s0*exp(n* sigma)以上，向下是指跌到s*exp(-n* sigma)以下。如ETF现价2.122，年化波动率0.345，则股价向上运动1个sigma是指股价一年后能到3元以上，理论概率为16%；向上运动3个sigma是指股价到5.98元以上，理论概率为0.13%。

   C．狼君会在附注中给EXCEL表，给定输入现价、期限、波动率以及目标价，可得到“股价一定期限后运动到该目标价以下的概率”，任两个目标价的概率相减，能进一步得到股价运动到指定范围的概率。

   （3）股价分布的缺陷
   A. 同学们得到“股价在指定期限后运动到指定范围的概率”，心里一定是“欣喜若狂”的，但不要认为获胜密码在握，事情有两面：一面是，你确实会比完全不懂的人建立一点微弱优势，并且应用于ETF相比个股期权这种优势更大些；另一面是，任何重大“市场转折”、“意外”发生时，依赖机械式概率操作能让你付出惨重代价。

   B．股价对数正态分布假设是有漏洞的，所谓“肥尾效应”(可理解为“黑天鹅常有”)，股价出现3sigma、6sigma次数比计算值大一个量级是常事，A股更甚。

   C．若不甘心，还可以采用肥尾修正股价分布，但狼君告诉你，别费劲了，补益甚微，应对办法只有：在用期权策略时，记得不让偶尔的股价极端运动重创账户，即总论所说“但绝无重大损失”。

   二、期权定价
   A．狼君不打算抄写BS公式烦躁各位，只说定价的基本逻辑：首先，如果知道股价在指定期限后会到某值，可以轻易给出该股“认购权”定价，该价价期权买卖双方打平；那么，我们现在知道“股价在指定时间后运动到指定范围的概率”，无非是把各股价下“认购权”价格和对应概率相乘后加和，即为认购期权定价，（“蒙特卡罗方法”定价就是这样干的）。不过，碰巧B和S两人推导出了认购期权定价的解析式而已，再由平价关系可得认沽期权定价。

   B．记住期权价格是“现价、行权价、无风险利率、期限、波动率、股息”6个变量的函数。vix.shtml" target="_blank" class="relatedlink">50ETF期权可不用考虑股息（派息后会调整合约乘数），需特别注意波动率，这是个“美妙”而又“无厘头”的家伙。

   C. 波动率是一定时间段内股价的标准差，代表了股票收益的不确定性，如期权行情软件常用的60天历史波动率，就是最近60个交易日股价收盘价的标准差。大家有一种直观印象，通常时间越长，股价运动范围越大，数学派把这个定量化为“波动率与期限方根成正比”，即行权期还有n个交易日，则该期限波动率为“年化波动率*sqrt(n/250)”，其中250是一年的大致交易日数。

   D．玩家们常说两类波动率，一个叫历史波动率，为“回望量”；另一个叫隐含波动率，为“前瞻量”。“历史波动率”是根据历史股价“实实在在”算的，而“隐含波动率”是根据市场的期权报价反推的（6个自变量重，一般只有波动率未知）。

   Ｅ．用波动率判断期权定价贵贱有两种玩法：一是用“隐含波动率”和“历史波动率”比，即“前瞻量“和“回望量”比，此谓入门级玩法；二是用不同期权报价下的“隐含波动率”偏差和历史上的偏差比，第二种比第一种相对靠谱点。

   F．说波动率“美妙”是因为它保证了各期限、各行权价期权定价具“合理性”和“可比性”：“具合理性”是说用历史波动率等历史数据定价，比全靠蒙有谱点，“可比性”是说，可以用来判断不同期权哪个偏贵（隐含波动率大）；说波动率“无厘头”是因为，期权定价在某种程度是把“股价的不可预测性”转化为另一后知后觉量“隐含波动率”。

   三、希腊字母
   A．从期权定价的6个自变量中，股价、期限、波动率、无风险利率随时间的演化常在变化（其中无风险利率变化低），期权玩家们试图“精细掌握”以上四个量变化后期权价的变化，分别用Delta、Theta 、Vega和Rho表示，数学上称为一阶偏导的东西。

   B．希腊字母的白话解释如下：如某认购的Delta=0.8，含义是50ETF爬升1分钱，期权价增加0.8分钱；如Theta = - 0.3，表示1天过后，期权价将减少- 0.3/250元钱（约1.2厘）；如Vega = 0.45，表示隐含波动率增加1%，期权价增加0.45分钱；如Rho=0.3，表示利率增加1%，期权价增0.34分钱。为何取1分钱、1天、1%之类的小量，不是狼君无聊，因为以上希腊字母只能反映微小变化量。（另外，不要犯蒙了，1张期权价变化要在以上单价上乘以1万，所以期权价报价增0.8分钱，代表一张期权价增80块钱，不算少了哈。）

   C．由于股价对期权价影响太直接又重要，所以玩家觉得Delta随股价的变化也很重要，这就是Gamma，数学说法是期权价对股价的二阶偏导，如Gamma=0.9,可理解为股价增加1分钱，delta变化0.9/100=0.009。

   D．打开期权行情，点“期权特征值”，没事看看不同期权Delta、 Theta, Gamma, Vega的一些特征（Rho影响小，可不关注），慢慢形成直观图景。对同款认购认沽，需记如下关系：一是认购和认沽delta相减后为1；二是认购和认沽vega和Gamma相同；三是，认购和认沽的Theta和Rho没有简单数字关系。

   E．持仓组合的希腊字母具有可加性，即各品种的持仓数*该品种希腊字母值全部加起来就是持仓组合值。“Delta对冲”，“Gamma对冲”等高级名称意思就是让组合的Delta或Gamma为零，甚至同时为零，好听的说法就是“不让股价变化伤害你的组合”，听听就好，对冲往往有代价，也需适时调整组合，因为“希腊字母只反应参数微小变化影响”。

   F．后面会给附注，提供希腊字母的Excel计算表，以便“小白从此高大上”。
   以上论述不能精确叙述期权数学问题，更多讨论以后再来，狼君已经尽力简化突出要点了，如仍觉不知所云，还有两法：一是彻底忘掉期权，好好生活吧；二是只在总论“思路一和思路二”中活动，忘掉“思路三和思路四”。

xman123a · 2017-6-30 18:34:20

EatonChow 发表于 2017-6-30 14:58
楼主你好，请问如何通过对数正态分布计算未来一段时间内股价的概率呢？相关公式可以告知一二么，或者相关的 ...

股价有涨跌停板限制，不能这么算吧。这类学术性的东西知网上应该一大把。概率毕竟是概率，有时就赚小概率的钱呢。
期权及其价格如何隐含概率分布（PD）
股票看跌期权和看涨期权的价格由PD决定，但有趣的是我们可以逆向处理这个过程。我们可根据期权的价格轻松导出这些价格的隐含概率。您无需知道如何导出，可跳至下一个内容；但如果希望了解，这是一个任何高中生都可以理解的方法。

假设股票XYZ是在每股$500左右交易。一个月后期权到期时价格将在510和515之间的百分比概率是多少？假设510看涨期权的交易价为$6.45，515看涨期权的交易价是$4.40。您可以支付$2.05买进510看涨期权和卖出515看涨期权。

如果在到期时股票低于510，您损失$2.05
如果是在510和515之间，收益是510的$2.05损失和515的$2.95收益之差的平均值，即$0.45
如果是高于515，您获得$2.95的收益
进一步假设我们之前计算的股票低于510的概率是56％或0.56。*

因为期权是“公平”定价的，也就是说，如果市场的PD是正确的，就不会有收益或损失，即0.56*－2.05＋X*0.45＋Y*2.95＝0，这里X＝股票价格将在510和515之间的概率，Y＝股票价格高于515的概率。

因为所有的可能价格发生的概率是100％，则0.56＋X＋Y＝1.00得出的X是0.06和Y是0.38。

*计算全部PD，您需要从最低的执行价开始，需要猜测低于这个价格的概率。这个数值很小，所以您不会出太大的错误。

如果您已经阅读到此，那您也许会有兴趣想知道如何从PD导出任何看涨期权或看跌期权的价格。

对于看涨期权，您可以用每个高于执行价的股票价格，减去执行价并乘以该部分最终价格概率。对曲线图尾部，您需要猜测小的概率并使用比高执行价大约高20％的价格。加总所有结果得出您的看涨期权价格。

对于看跌期权，您可以用每个低于执行价的股票价格，从执行价中减去该价格并乘以概率。对最后部分，在零和最低执行价之间，使用最低执行价的2/3并猜测概率。同样，将所有的结果加总得出看跌期权价格。

有些人可能会说这些都是非常粗略的结论。应该说这就是预测价格的实质；无需伪装说它不是。每个人都在猜测。没人知道最终的结果。计算机精英使用复杂的模型可让外行人感觉他们在做出非常精确的计算，但事实上并没有人知道概率是多少，建立在对基本情况有所了解基础上的猜测可能比他们基于历史统计结果的猜测会更好。

注意，我们在讨论中忽略了利率的影响。我们还调整了期权可能会被提前行使的事实，这将使其更有价值。当计算整个PD时，需要考虑这个额外的值，但这仅对深度价内期权有显著的影响。使用看涨期权来计算高价的PD和使用看跌期权来计算低价的PD，您可以避免这个问题。

edwin · 2016-5-5 00:24:27

好帖子，白话文这是

小蛋挞 · 2016-5-5 00:51:52

应该不止是股价，感觉所有标的都满足呢

小蛋挞 · 2016-5-5 00:55:56

满足走势

神术 · 2016-5-5 07:29:50

我刚开始也对数学问题感兴趣。。但是实在是高等数学没学好，深了看都看不懂了，除了六个基本指标含义之外别的也不懂了。。但是做了一阵子下来，感觉相比那些指标甚至波动率，把握好标的的走势更为关键而且简单实用。

Fei · 2016-5-5 09:19:32

写的很好，狼君赞一个！

我的名字叫小飞 · 2016-5-6 20:53:11

神术发表于 2016-5-6 08:03
书本上的认识绝对没有实战得来的经验深刻

同感，看书不能赚到钱的，特别是在金融市场。

幸福e味道 · 2016-5-7 02:04:33

好帖子，赞一个

小车 · 2016-5-21 12:23:01

赞一下楼主，真才实学。

khoo_1 · 2016-9-10 14:41:20

好贴

四平侠客 · 2017-1-2 21:32:54

A．从期权定价的6个自变量中，股价、期限、波动率、无风险利率随时间的演化常在变化（其中无风险利率变化低），期权玩家们试图“精细掌握”以上四个量变化后期权价的变化，分别用Delta、Theta 、Vega和Rho表示，数学上称为一阶偏导的东西。

   B．希腊字母的白话解释如下：如某认购的Delta=0.8，含义是50ETF爬升1分钱，期权价增加0.8分钱；如Theta = - 0.3，表示1天过后，期权价将减少- 0.3/250元钱（约1.2厘）；如Vega = 0.45，表示隐含波动率增加1%，期权价增加0.45分钱；如Rho=0.3，表示利率增加1%，期权价增0.34分钱。为何取1分钱、1天、1%之类的小量，不是狼君无聊，因为以上希腊字母只能反映微小变化量。（另外，不要犯蒙了，1张期权价变化要在以上单价上乘以1万，所以期权价报价增0.8分钱，代表一张期权价增80块钱，不算少了哈。）

   C．由于股价对期权价影响太直接又重要，所以玩家觉得Delta随股价的变化也很重要，这就是Gamma，数学说法是期权价对股价的二阶偏导，如Gamma=0.9,可理解为股价增加1分钱，delta变化0.9/100=0.009。

   D．打开期权行情，点“期权特征值”，没事看看不同期权Delta、 Theta, Gamma, Vega的一些特征（Rho影响小，可不关注），慢慢形成直观图景。对同款认购认沽，需记如下关系：一是认购和认沽delta相减后为1；二是认购和认沽vega和Gamma相同；三是，认购和认沽的Theta和Rho没有简单数字关系。

   E．持仓组合的希腊字母具有可加性，即各品种的持仓数*该品种希腊字母值全部加起来就是持仓组合值。“Delta对冲”，“Gamma对冲”等高级名称意思就是让组合的Delta或Gamma为零，甚至同时为零，好听的说法就是“不让股价变化伤害你的组合”，听听就好，对冲往往有代价，也需适时调整组合，因为“希腊字母只反应参数微小变化影响”。

简明易懂，这才是真为师者！

chaostring · 2017-1-3 13:07:49

期待下一期……

kenhack · 2017-6-30 11:40:49

这么看来，玩期权等多少数学水平啊

专业骑驴 · 2017-6-30 13:13:40

有第三期吗？

EatonChow · 2017-6-30 14:58:38

楼主你好，请问如何通过对数正态分布计算未来一段时间内股价的概率呢？相关公式可以告知一二么，或者相关的Excel文件分享一下，谢谢。

四平侠客 · 2017-6-30 18:09:53

学习学习学习

四平侠客 · 2017-6-30 18:10:38

四平侠客发表于 2017-6-30 18:09
学习学习学习

理解定价逻辑及暗含缺陷，远比数学推导重要

LLW9BiP4Sg · 2017-6-30 18:58:30

帖子不错

yz6133515 · 2018-5-8 18:06:33

顶，学习一下。

gypeng123 · 2018-5-8 19:42:08

努力学习中，谢谢。

cszhaoyun · 2021-11-28 17:51:35

谢谢狼君的文章。

通匠 · 2024-3-7 12:53:28

谢谢分享

狼说期权第二期：股价运动与期权定价

22 个回复