作者：石川，北京量信投资管理有限公司创始合伙人，清华大学学士、硕士，麻省理工学院博士。知乎专栏：
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摘
要
本文以中证 500 为例对异质波动率进行了实证研究，观察到低异质波动率异象；在控制了其他常见因子后，异质波动率依然能够提供定价信息。
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引言
异质波动率（Idiosyncratic Volatility）是异质风险的一个代理变量。与系统性的市场风险不同，异质风险被认为是上市公司面对的特有风险、是可以被分散化的。长久以来，大量的研究试图搞清楚异质波动率和股票预期收益率之间是否存在某种关系。
从实证分析来看，上述问题并无定论。早期的发现倾向认为异质波动率和预期收益率之间存在正相关。然而在 2006 年，Ang et al. (2006) 在 Journal of Finance 上发表了一篇影响深远的文章，指出了异质波动率和预期收益率之间的负相关 ——即当其他条件相同时，异质波动率低的股票未来可能获得更高的收益。
时至今日，Ang et al. (2006) 的引用已经超过 3000 次，足见其影响力。它也同时掀起了学术界对异质波动率的极大兴致，而这其中也不乏反对之声。Fu (2009) 在 Journal of Financial Economics 上撰文说 Ang et al. (2006) 发现的负相关源于一小撮高异质波动率股票收益率的反转；Fu (2009) 使用 GARCH 模型对异质波动率建模分析发现，它和预期收益率之间依然存在正相关。来自 Berkeley 的 Anderson, Bianchi, and Goldberg (2012) 指出，Ang et al. (2006) 中结果受到了数据中一个极端 outlier 的影响（1987 年 10 月），排除该点后，Ang et al. (2006) 发现的关系不再显著。
面对质疑，Ang et al. (2009) 在 Journal of Financial Economics 上再次发文，通过来自美国和全球的更多实证结果说明异质波动率和预期收益率之间的负相关性。然而，也有研究表明，异质波动率和预期收益率之间到底是何种关系受到实证分析中很多因素的影响，因此难有定论（Bali and Cakici 2008）。
面对大量难以统一的实证结果，Stambaugh, Yu, and Yuan (2015) 从不对称套利的角度对（低）异质波动率之谜进行了解释（针对美股）。他们指出，对于 overpriced 股票，异质波动率和收益率呈现负相关；反之，对于 underpriced 股票，二者呈现正相关。由于做空的限制造成对 overpriced 股票套利不充分，因此 overpriced 股票上的这种负相关比 underpriced 股票上的正相关更难被消除，综合的结果就是在整个截面上观察到负相关，即低异质波动率异象。
本文以中证 500 指数成分股为例，对异质波动率进行实证研究。和其他针对 A 股的相关研究报告发现的结果相似，我们观察到异质波动率和预期收益率之间的负相关性；依照低异质波动率来构建投资组合可以获得传统因子模型无法解释的超额收益。此外，Fama-MacBeth regression 分析表明，异质波动率能够解释个股预期收益率的差异。
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构建因子
本文借鉴 Ang et al. (2009) 的方法构建异质波动率因子 ——将个股的收益率相对某给定多因子模型残差的标准差作为异质波动率因子。按照上述定义需要明确两个问题：（1）多因子模型；（2）回归获得残差以及计算残差标准差的时间窗口。
在多因子模型方面，实证中选择 Fama and French (2015) 五因子模型：
MKT：中证 500 指数的收益率，为了简化没有考虑其相对无风险利率的超额收益；
SMB：做多流通市值小的一半、做空流通市值大的一半；
HML：做多 Book-to-Price 最高的 150 支、做空 Book-to-Price 最低的 150 支；
RMW：使用营业利润与总资产之比从大到小排序，做多排名靠前的 150 支、做空排名靠后的 150 支；
CMA：使用总资产增长率从小到大排序，做多排名靠前的 150 支、做空排名靠后的 150 支。
按上述定义构建这些因子的日频收益率序列；构建风格因子的多空组合时，排除停牌股票并按等权配置（本文第五节会给出按市值加权配置的实证结果）。
有了多因子模型的日频收益率就可以进而计算个股的异质波动率。具体来说，在每月最后一个交易日，使用之前 n 个交易日的个股收益率和上述因子收益率进行时序回归得到个股的残差收益率，然后计算残差收益率的标准差作为其异质波动率。如何选择 n 呢？
为了研究异质波动率，我们希望上述五因子模型能够尽可能解释个股收益率在时序上的波动，即时序回归的 R 不能太小，否则研究的就不是异质波动率而是波动率了。下图显示了 n 取过去 1 至 6 个月内的交易日时，五因子模型对个股回归的 R 在截面上的均值随时间的变化。
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使用过去 1 到 6 个月的日频收益率回归，五因子模型均能较好的解释个股收益率。当然，回归窗口越长样本点就越多，从而造成五因子模型的解释力度降低，这也符合预期。因此不能仅以 R 高低作为选择窗口的依据。
最终，我们选择使用最近一个月的日频收益率数据计算个股的异质波动率。这种做法和 Ang et al. (2009) 一致。在计算中，如果某支个股因停牌导致其交易日少于当月交易日的 80%，则将其剔除在外。
依照上述说明，在每月末构建异质波动率因子（记为 IVol）的方法如下：
1. 使用当月个股日频收益率和五因子模型的日频收益率进行时序回归得到残差收益率序列；
2. 计算残差收益率的标准差作为该个股的异质波动率因子；
3. 使用异质波动率因子从小到大排序，做多排名靠前的 150 支、做空排名靠后的 150 支，等权配置；
4. 按月再平衡、不考虑任何成本；上述多、空对冲的投资组合就是 IVol 因子收益率。
实证期为 2011 年 1 月至 2019 年 3 月。下面来看结果。
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实证结果
下图显示了四个投资组合在回测期内的净值曲线。其中蓝色的 Market 代表中证 500 指数；黄色 Long/Short 为多空对冲的组合，它便是 IVol 因子的投资组合；绿色 Long Only 代表 IVol 中的多头组合（做多 150 支 IVol 最低的股票）；最后红色 Long/Market 代表 IVol 多头组合相对市场的超额收益。
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使用低异质波动率战胜了市场：IVol 多空组合的年化收益率为 11.37%（夏普率 1.24）、纯多头组合的年化收益率为 9.74%（夏普率 0.47）；同期中证 500 指数的年化收益率仅为 1.42%。不过从上图中也能看到，从 2017 年以来，IVol 的纯多头组合并没有战胜指数。
如果在每个月把股票池根据 IVol 的大小分成 10 档（0 代表 IVol 最低档、9 代表 IVol 最高档），则这 10 档投资组合的月频收益率均值如下图所示，呈现出较好的单调性。
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接下来，我们看看 IVol 因子能否获得其他因子无法解释的超额收益。由于它和波动率息息相关，因此在 Fama-French 五因子的基础上加入波动率因子 Vol。计算 Vol 时直接使用个股日频收益率最近一个月的标准差、将其从低到高排序，其他步骤和 IVol 类似。
将 IVol 因子收益率和 Fama-French 五因子 + Vol 因子收益率进行时序回归，得到如下结果（t-statistics 经 Newey and West 1987 调整）。结果显示，IVol 因子在 Vol 因子上有很高的暴露（v = 0.62、其 t-statistic 高达 7.816），这也导致时序回归的 R 高达 0.771（在一般学术论文中因子对异象的时序回归中往往见不到这么高的 R）。尽管如此，IVol 依然能获得这六个因子无法解释的显著 α 收益率（每月平均 0.51%、t-statistic 3.545）。
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虽然 IVol 能够获得 α，但是其和 Vol 的高相关性仍然让人不爽。我们自然想看看它能能否解释个股预期收益率的截面差异，即回答本文标题中的问题 —— 异质波动率能否提供增量定价信息。
为此，使用 Fama and MacBeth (1973) Regression 对包括 IVol 在内的上述七个因子同时进行分析。将个股在每个因子上的当期暴露和个股下期的收益率进行截面回归，从而得到这些因子在时序上的收益率序列，以此考察每个因子。在计算因子暴露时，对每个因子在截面上取值的 1% 和 99% 分位数之外的样本进行窗化，之后再进行标准化处理。Fama-MacBeth Regression 的结果如下。
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结果显示，IVol 具有很强的解释截面预期收益率的能力。它的月频预期收益率为 -0.71%（t-statistic = -4.402），说明高 IVol 的股票较低 IVol 的股票有更低的收益。然而，结果中 Vol 的预期收益率为 0.45%（t-statistic = 2.150），说明高 Vol 的股票比低 Vol 的股票有更高的收益，这和我们熟悉的低波动异象相左。
如果把 IVol 和 Vol 的结果放在一起则更加令人困惑 —— 波动率高、但异质波动率低的股票较其对立面能获得更高的收益。这样的结果与 IVol 和 Vol 之间的高相关性密不可分。在 Fama-MacBeth Regression 中，我们希望因子之间是近似独立的，而 IVol 和 Vol 这两个因子之间的高相关性会对分析结果造成干扰。
为了更好的考察 IVol（以及 Vol）能否解释预期收益率截面差异，下一节将对 IVol 进行正交化处理。
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因子正交化
为了排除 Vol 对 IVol 的影响，使用前者对后者进行正交化处理。正交化时可采用最小二乘法（OLS）或广义最小二乘法（GLS）。
使用 OLS直接在每期截面上将股票在 IVol 上的暴露作为被解释变量，将它们在 Vol 上的暴露作为解释变量，回归得到的残差作为正交化后的 IVol 暴露，并按照正交化后 IVol 暴露从低到高排序构建 IVol 因子。
正交化后，IVol 因子的表现如下图所示。其多、空对冲组合的年化收益率较未进行正交化提升至 14.01%、纯多头收益率提升至 11.04%。不过稍后就会看到，更高的 on paper 收益率的代价是更高的换手率。因此正交化在实践中能否提升该因子的效果依然需要进一步研究。
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再来看看 Fama-French 五因子 + Vol 因子能否解释正交化后的 IVol 因子。时序回归显示，正交化后的 IVol 因子在 Vol 因子上的暴露不再显著，而这六个因子解释 IVol 时的 R 也下降至 0.288（属于学术论文中常见的数值范围）。与未进行正交化相比，正交后的 IVol 的 α 收益率更加显著。
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在排除了 Vol 对 IVol 的影响之后，Fama-MacBeth Regression 给出了“期待中”的结果：Vol 对股票预期收益率的解释能力骤然消失，而 IVol 因子的解释能力则变得更加显著。这个结果说明，相比起波动率，我们更应该关注异质波动率，而低异质波动率异象存在于实证中的中证 500 指数。
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第二种正交化的方法参考 Menchero (2010)，在正交化时考虑个股市值对残差的影响，采用 GLS：
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上式中 W 是对角阵，对角线上的第 i 个元素为股票 i 的权重（正比于流通市值）。这种处理方法被广泛应用在 Barra 的模型中，感兴趣的小伙伴可以进一步参阅相关资料。
实证结果显示，GLS 和 OLS 的差异很小。正交化后 IVol 因子多空组合的年化收益率为 13.76%、纯多头的年化收益率为 10.88%。下面两张图分别给出了 GLS 正交化方法下时序回归和 Fama-MacBeth Regression 的结果。
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在结束本小节之前，再来回应一下之前提到的高换手率的问题。下图显示了非正交化 IVol 因子和两种正交化 IVol 因子的多头组合每个月相较于前一个月股票变化的数量（每个月多头一共 150 支）。正交化操作明显的提高了股票变化的数量，这在实际中会造成更高的换手率和交易成本，是必须考虑的问题。
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按市值加权
在前述的实证结果中，所有风格因子的多空投资组合均等权配置选出的股票。作为 robustness check，本小节给出按市值加权的结果。在所有的多空组合中 —— 包括计算异质波动率时的日频风格因子收益率，以及分析 IVol 时的月频因子投资组合 —— 均采用市值加权的方式构建。用一句话总结来说：按市值加权和等权配置获得了非常接近的结果：异质波动率和预期收益率呈负相关，且能显著的解释个股预期收益率的截面差异。
考虑到篇幅问题，本小节仅列出按 OLS 正交化方法的实证结果。下图为 IVol 因子组合的累积净值。IVol 因子多空投资组合的年化收益率为 13.21%（夏普率 1.76）、纯多头组合的年化收益率为 9.80%（夏普率 0.46）。
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将股票池根据 IVol 的大小分成 10 档（0 档为异质波动率最低、9 档为异质波动率最高），则这 10 档投资组合的月频收益率均值如下图所示，依然呈现出较好的单调性。
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时序回归结果显示，按市值加权的 IVol 因子（正交化）能获得更高的 α 收益率。Fama-MacBeth Regression 显示 IVol 因子的预期收益率非常显著；与之成鲜明对比的是，Vol 因子不具备解释截面预期收益率差异的能力。
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结语
本文以中证 500 为例对异质波动率进行了实证研究。类似的方法可以推广到全 A 股。虽然能够观察到低异质波动率异象，但需要指出的是上述实证区间的长度并不令人满意，所以即便显著的结果也要打点折扣。
最后，Herskovic et al. (2016) 指出个股的异质波动率之间也存在显著的 co-movement，因此提出了一个 factor structure 来解释异质波动率。这个发现对于 empirical asset pricing 也有一定的启示，且他们的结果也反映了异质波动率和预期收益率之间的负相关性。感兴趣的小伙伴不妨一读。
参考文献
Anderson, R. M., S. W. Bianchi, and L. R. Goldberg (2012). A comment on “The cross-section of volatility and expected returns”: the statistical significance of Fvix is driven by a single outlier. Working paper, Coleman Fung Risk Management Research Center, University of California Berkeley.
Ang, A., R. J, Hodrick, Y. Xing, and X. Zhang (2006). The cross-section of volatility and expected returns. The Journal of Finance, Vol. 61(1), 259 – 299.
Ang, A., R. J. Hodrick, Y. Xing, and X. Zhang (2009). High idiosyncratic volatility and low returns: international and further U.S. evidence. Journal of Financial Economics, Vol. 91(1), 1 – 23.
Bali, T. G. and N. Cakici (2008). Idiosyncratic volatility and the cross section of expected returns. Journal of Financial and Quantitative Analysis, Vol. 43(1), 29 – 58.
Chen, L. H., G. Jiang, D. Xu, and T. Yao (2012). Dissecting the Idiosyncratic Volatility Anomaly. Working paper, available at SSRN: https://ssrn.com/abstract=2023883.
Fama, E. F. and K. R. French (2015). A Five-Factor Asset Pricing Model. Journal of Financial Economics, Vol. 116(1), 1 – 22.
Fama, E. F. and J. D. MacBeth (1973). Risk, return, and equilibrium: empirical tests. Journal of Political Economy, Vol. 81(3), 607 – 636.
Fu, F. (2009). Idiosyncratic risk and the cross-section of expected stock returns. Journal of Financial Economics, Vol. 91(1), 24 – 37.
Herskovic, B., B. Kelly, H. Lustig, and S. V. Nieuwerburgh (2016). The common factor in idiosyncratic volatility: quantitative asset pricing implications. Journal of Financial Economics, Vol. 119(2), 249 – 283.
Menchero, J. (2010). Characteristics of factor portfolios. Research note, Barra.
Newey, W. K. and K. D. West (1987). A simple, positive semi-definite, heteroskedasticity and autocorrelation consistent covariance matrix. Econometrica, Vol. 55(3), 703 – 708.
Stambaugh, R. F., J. Yu, and Y. Yuan (2015). Arbitrage asymmetry and the idiosyncratic volatility puzzle. The Journal of Finance, Vol. 70(5), 1903 – 1948.
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