上个Garch模型。
金融时间序列入门（四）--- ARCH、GARCH 作者：fyiqi
GARCH模型与波动率预测
虽然ARCH模型简单，但为了充分刻画收益率的波动率过程，往往需要很多参数，例如上面用到ARCH(4)模型，有时会有更高的ARCH(m)模型。因此，Bollerslev(1986)年提出了一个推广形式，称为广义的ARCH模型（GARCH）
另：
at=rtμt
为t时刻的新息。若at满足下式：
\large a_t = \sigma_t\varepsilon_t \ \large \sigma_t^2 = \alpha_0 + \sum_{i=1}^m \alpha_i a_{t-i}^2 + \sum_{j=1}^s \beta_j \sigma_{t-j}^2 \ \large \alpha_0 > 0; \forall i > 0, \alpha_i \geqslant 0 ,\beta_i \geqslant 0, (\alpha_i + \beta_i) < 1
其中，
εt
为 均值为0，方差为1的独立同分布（iid）随机变量序列。通常假定其服从标准正态分布或标准化学生-t分布。
σ2t
为条件异方差。
则称at服从GARCH(m,s)模型。仔细观察公式，发现与ARMA模型很相似！
GARCH模型建立
与之前的ARCH模型建立过程类似，不过GARCH(m,s)的定阶较难，一般使用低阶模型如GARCH(1,1),GARCH(2,1),GARCH(1,2)等。
下面我们以之前的数据为例，构建GARCH模型，均值方程为AR(8)模型，波动率模型为GARCH(1,1)
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我们得到波动率模型：
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观察上图，第一张图为标准化残差，近似平稳序列，说明模型在一定程度上是正确的；
第二张图，绿色为原始收益率序列、蓝色为条件异方差序列，可以发现条件异方差很好得表现出了波动率。
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观察拟合图发现，在方差的还原上还是不错的。
波动率预测
上一章的预测直接预测了收益率，然而直接预测收益率准确度并不是很高，因此很多时候我们主要用来预测波动率，根据上面建立的波动率模型：
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我们可以按照我们建立好的模型一步步计算。
根据模型：
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先计算at的预测值
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接着根据波动率模型预测波动率：
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我们将原始数据、条件异方差拟合数据及预测数据一起画出来，分析波动率预测情况
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可以看出，对于接下来的1、2天的波动率预测较为接近，然后后面几天的预测逐渐偏小。
可惜的是arch库中没有找到直接调用的方法，只好自己来计算。
小结
本篇是时间序列入门系列的最后一篇，重点还是在基础的概念和python实现上。事实上要真学好这些模型，少不了更多的参考和实验。
另外，还有很多扩展的或改进的模型如求和GARCH、GARCH-M模型、指数GARCH、EGARCH模型等等。 对于波动率模型，还有比较常用的有随机波动率模型等， 有兴趣可以去研究下。
[h1]参考文献[/h1]1.《金融时间序列分析》 第2版 Ruey S.Tsay著 王辉、潘家柱 译
2.Time Series analysis tsa http://nipy.bic.berkeley.edu/nightly/statsmodels/doc/html/tsa.html
3.Python arch 3.2 https://pypi.python.org/pypi/arch
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