卡方分布的方差 D(X^2)=2n 如何理解?

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骆贤毅   2018-9-24 01:04   9614   5

卡方分布的期望看起来很直观:

卡方分布的随机变量是n个独立服从标准正态分布的样本的的方差和。

其中每个方差的期望是1,则每个方差和的期望为n*1,既卡方分布的期望为n。显然。

那么,卡方分布的方差是否也有直观的解释呢?

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5 个回复

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风城纪事  4级常客 | 2018-9-24 01:04:18 发帖IP地址来自

有,var(k)=2n Var(X)= 2n

3#
Focus  2级吧友 | 2018-9-24 01:04:19 发帖IP地址来自

卡方分布也可以这样更简单打开刻画:设Xi是独立同分布的标准正态分布,则Y=X1^2+...+Xn^2称为自由度为n的χ^2分布.

由此,若Y服从自由度为n的卡方分布,则EY=nEXi^2,Var Y=n VarXi^2.

而题主所说的,正态分布方差和则是以下著名的Fisher引理

  • 引理(Fisher)设Xi是独立,均服从标准正态分布。则Z=Σ(Xi–X)^2/(n–1)服从自由度为n–1的卡方分布.

其中X=(X1+...+Xn)/n为样本均值。

4#
呆呆神仙女  3级会员 | 2018-9-24 01:04:20 发帖IP地址来自

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Incendsoul1994  2级吧友 | 2018-9-24 01:04:21 发帖IP地址来自

???你是不是把自己绕坑里了,2n=Var(chi-squared(n))=(i.i.d.)=n*Var(chi-squared(1))=n*2,多直观。

6#
别来无恙  3级会员 | 2018-9-24 01:04:22 发帖IP地址来自

卡方分布的方差推导记得有点麻烦,里面用到了积分,细看的话并不难,可以去网上搜一下应该都有详细证明过程。对于卡方分布的期望方差我感觉没有必要理解,至少在我本科阶段跟现阶段都不会用到。

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