卡方分布的期望看起来很直观:
卡方分布的随机变量是n个独立服从标准正态分布的样本的的方差和。
其中每个方差的期望是1,则每个方差和的期望为n*1,既卡方分布的期望为n。显然。
那么,卡方分布的方差是否也有直观的解释呢?
有,var(k)=2n Var(X)= 2n
卡方分布也可以这样更简单打开刻画:设Xi是独立同分布的标准正态分布,则Y=X1^2+...+Xn^2称为自由度为n的χ^2分布.
由此,若Y服从自由度为n的卡方分布,则EY=nEXi^2,Var Y=n VarXi^2.
而题主所说的,正态分布方差和则是以下著名的Fisher引理
其中X=(X1+...+Xn)/n为样本均值。
???你是不是把自己绕坑里了,2n=Var(chi-squared(n))=(i.i.d.)=n*Var(chi-squared(1))=n*2,多直观。
卡方分布的方差推导记得有点麻烦,里面用到了积分,细看的话并不难,可以去网上搜一下应该都有详细证明过程。对于卡方分布的期望方差我感觉没有必要理解,至少在我本科阶段跟现阶段都不会用到。
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