什么是 Expected Shortfall (ES),相比 VaR 它有什么优点？

什么是ES？
如何计算ES？
相比VaR它有什么优点？(Subaddtivity, no punishment for diversification etc)

胖骁 · 2018-8-10 10:15:51

@黑猫Q形态对于两者的构造和应用讲的听清楚了，但是所有答案都没说到一个很重要的问题，也是我认为监管机构要用CVaR的原因之一，那就是ES（CVaR）是convex的指标，所以可以以此为目标函数来做资产配置优化，而VaR作为非凸指标很难应用于资产配置的调整里。

所谓的convex就是各种金融风险书里说的subaddtivity,次可加性。这个性质在优化里是一个非常重要的性质：如果目标函数是凸函数，意味着局部最小值就是全局最小值，并且可以用梯度下降等方法找到全局最优解。在资产配置(portfolio management)领域中，最简单如马克维茨有效边界理论里面，限定资产组合的方差水平，以加权收益率为目标函数求极大值，或者限定收益率水平，以方差作为目标函数求极小值，之所以可行，是因为线性的目标函数和二次的目标函数都是凸函数。

VaR和CVaR的核心区别就在于这里。假如我想降低投资组合的风险，我可以用方差，但这个指标在监管中的确没什么用，监管机构想知道极端情况下的损失情况。这个时候我们可以用CVaR作为优化指标，找到使CVaR最大化的投资组合权重（因为是负值所以求最大值）。如果我的资产组合当前的CVaR过小了，风险太大，我可以通过求解一个可行的优化问题寻找CVaR最大调整权重，就算不是一下调到位，我也可以按照这个方向调整，CVaR一定会随着调整而增大的。而用VaR的话，也许存在一个权重组合可以使VaR变大，但第一很难计算，第二你必须一下调整的到这个最优的权重，因为任何的过渡权重都不能保证VaR的值在变大。

举个例子说明：假如一共有10种资产，每种资产都有10种可能的收益率，每种情况的可能性均等,也就是一共一百种情形。我的投资组合权重为X=（x1,x2,...,x10),限制条件所有xi相加和为1.

如要优化95%置信水平的VaR值，我们要写这样的式子：

其中v是VaR值，限制条件第一行求解每种scenario的收益率，第二第三行是为了构造指示函数I，如果第k种情况下的收益率低于VaR值，记为1，否则为0。小于VaR的情形只能有5种，因为我们要求的是95%的置信水平，所以有了第四行。

这个优化问题一共有100个0-1变量。0-1变量会使计算的复杂度骤然提高，要知道我们才考虑10种资产，每种资产10种可能的收益率，在现实中的问题远远比这要复杂多了，很可能在有限的时间内根本找不到最优解。

那么如果是CVaR呢？
我们的目标函数会变为

也就是只有v-r_k大于0的情型才会被计算，并且会被除以5%，因为我们只关注尾部5%的情况。这时候再做一个变换，设置一个变量

此后我们的优化问题可以变成这种形式：

其中限制条件的第2，3行正好构造了W_k。其中的细节不多说了大家也不会感兴趣，但是这时候我们的问题已经没有0-1变量了，而是一个线性规划问题！哪怕数据量很大，线性规划问题的解决时间也比较快。

所以，在现实生活中使用CVaR而非VaR是有原因的。你可能说谁没事优化CVaR呢？你可以把CVaR当成目标函数的一部分嘛，比如50%CVaR+50%收益率，只要是凸函数的凸函数，那就依然是凸函数。

看在我打了这么多latex公式份上点个赞不过分吧=。=

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呵呵 · 2018-8-10 10:15:52

看到这道题很亲切啊，正好我最近在复习这方面的内容，那就为题主解答一下了。

Expected Shortfall，又称Conditional VaR，满足次可加性，主要研究尾部损失的均值，假设每个损失所占的权重一样大，对尾部极端值求均值，计算结果更贴近实际情况，但是ES的计算比较麻烦。

VaR，Value at Risk，就是在给定时间的置信区间下，最大的损失是多少，比如在95%的情况下的损失，这个点所占的权重是100%，具有非次可加性，而且对尾部极端值不能做出分析说明，但是计算比较方便，通俗易懂。

那么什么是次可加性呢？
Subaddtivity，这个单词由Sub和addtivity构成，Sub是“次”的意思，比如次贷危机(subprime crisis)、随后（subsequence），add是“加”的意思，tivity表示性质，比如积极性（activity）、集体性（collectivity），这个单词就是“次可加性”的意思。
比如现在有两个投资产品，A和B，他们的风险分别是A`和B`，如果你同时投资这两个产品，那么你的投资组合的风险是要小于A`和B`相加的风险的，这就叫次可加性。
我们常听说的，分散投资，不要把鸡蛋放在同一个篮子里，说的就是这个道理。
非次可加性，就是不满足这个条件了，投资组合的VaR在极端情况下，会大于两个产品的独立VaR之和。

至于更加详细的内容，还请题主翻阅相关资料学习，Fanancial Risk Management 是一门相当系统的学科，更是一门哲学。

想了解更多关于财务金融方面的内容，请看我这篇文章：
不懂财务金融？看过这篇文章你就入门了

Young Jo · 2018-8-10 10:15:53

好处楼上说的差不多了，Subaddtivity 和考虑了 extreme situations，但也有坏处，比如估计一个sample 的 ES，如果用最常用的方法，就是将超过 VaR 的losses 取算数平均，这样得到的ES的估计是很varied的，尤其是在厚尾现象严重而且样本数量不大的情况，但 VaR 相比下会更加稳定，主要是因为极端情况在sample size 不大的情况下很可能不出现在我sample里，这样对ES的影响很大。当然，也有用kernal distribution去拟合losses 的分布然后得到一个更加smooth的分布，然后用定义求ES，但目前看来效果一般。

ES的backtest也比较复杂，存不存在都有争论，当然现在是有几种办法的。但VaR的backtest就简单明了很多，也不存在什么争议，方法也统一。

另外， CVaR 和 ES 严格扣定义的话，是有一些不同的，这些不同主要是存在不连续的loss 分布，区别不是很大。

黑猫Q形态 · 2018-8-10 10:15:54

吐槽更新：我想说今天下午GS电面我问了一模一样的问题………………我这算压中了？

@陈皇宇 Renco 大大邀，不会也要强答。
好吧其实我会……

ES和VaR的区别在计算上很明显，在实际效果值得讨论。
VaR是“分位值”：

对应的是分布中红线那个位置的值，翻译成人话就是：我有a%的把握明天的损失不会大于VaR(损失当然是负的了，所以一般取绝对值）

而ES则是大于一个置信度（小于一个分位）的条件期望，在图上是好是红线左边对应所有损失的的期望，翻译成人话是：(1-a%)糟糕的状况发生之后的加权平均损失

计算ES其实就是条件概率的期望积分

至于使用效果如何，完全看backtesting和阈值啊

一般而言，这类risk measure计算无非是两类结果：1.我该给多少杠杆 2.我的资本充足率是多少
在这两个问题上，VaR和ES完全只有大小的区别。 很可能换一个波动率模型或者分布，VaR值就大于原先的ES了。举个例子，我把Normal下的VaR换成了 Standard t的VaR，因为t分布有肥尾，quantile肯定比normal大。如果自由度低一点，尾巴肥一点，很可能值就大于原先的ES了。

那么多大，多小合适呢？完全是把backtesting的阈值说了算。一般来说，对于对于所有市场风险模型，我们都要对其进三种检验：无条件检验（Unconditional coverage test），独立检验（independent test)，和条件检验（Conditional coverage test)

简单的说我们要做三个Chi-square检验：
L(p)

为给定标准的似然概率（给定置信度下的损失大于模型的“额定”似然概率）
$L(\pi)$ 为实际测试的似然概率（回测实际损失大于置信度的似然概率）
$L(\pi_1)$ 为连续两天违反模型的概率（回测连续两天是计算时大于置信度的似然概率）

那么在固定置信度下，我们需要做：
$LR_{uc} =-2ln[L(p)/L(\pi)] \sim \chi ^2_1$
$LR_{ind} =-2ln[L(\pi)/L(\pi_1)] \sim \chi ^2_1$
$LR_{cc} =LR_{uc}+LR_{ind}\sim \chi ^2_2$
上面三个全是“是”检验，意思是接受才是对的模型。

因此，广义的说我们不能去泛泛的去谈那个risk measure好不好，而是：哪一种波动率假设和分布假设下的VaR或者ES对于哪一只资产在哪一段时间的回测能不能通过检验

当然，横向比较：同一个分布和波动率假设下，ES的值当然比VaR大的多，也就是资本金要更加充足。这种无条件的“大”估计是 basel强行要求充足率要用ES的计算的原因，监管者就是喜欢一些简单粗暴好管的东西嘛～