。将前面得到的p的公式代入可得
。
方程中有两个未知数u和d,是无法进行求解的。John Hull的书中,没有解的过程,只是提到了用泰勒展开式。
我查了John C. COX,Stephen A. ROSS,Mark RUBINSTEIN的论文,到解方程的时候,只是来了句A little algebra shows we can accomplish this by letting u和p等于某个值。
网上查到的其他资料,一般是会假设ud=1的条件作为另一个方程。可以做这种假设的原因,应该是波动率吻合即可,u和d的关系不影响定价。因为从BSM的公式可以看出,影响期权价格的标的变动因素只有波动率。
所以,可以假设一种简单的关系ud=1。在这个假设下,波动率能够吻合,并且有比较好的特性:经过u和d后股票价格不变。
解这两个方程可得
,
。
经过前面计算,若股票当前价格S0,执行价格K,到期时间T,无风险利率r,股票价格波动率σ已知,在Δt的时间间隔后,股票价格上升下降的比例u、d,上升概率p都能得到。因此,可以一步步的往后构造二叉树了。