波动率专题-- 用历史波动率对冲还是隐含波动率对冲？

当隐含波动率为20%，但是我们认为实际波动率为30%，如果我们预测正确，我们应该如何获利?

对公式不感兴趣可以直接跳到第一张图看结论。

我们都同意 S,E T，t 和r（基本上）是固定的，但是对于波动率，究竟是用隐含波动率还是实现波动率？

这对我们有很大的影响，即是使用波动率 20%还是30%？
标的物价格现在100，看涨期权strike =100，到期日为1Y，无风险利率5%，用Black - Scholes 算出
若使用波动率30%，计算出delta 为0.6236

若使用波动率20%，计算出delta 为0.6358

有对冲的盈亏分析

T是期权到期日，时间间隔  dt= ti- ti-1  ， Si 为i时刻标的物价格
Vi=V（ti，Si）为ti时刻期权的价格  无风险利率r

在给定时间点ti  对冲量为Δi
t0 时刻，投资组合是
long 一个期权
short  Δ0 的标的物
持有 Δ0S0 的现金

t1 时刻在对冲前，组合的价值
期权：V1
标的物： -Δ0 S1
现金： Δ0S0 e^rdt
组合价值  Π= V1-Δ0 S1 +Δ0S0e^rdt
[sup][/sup]

t1 时刻，卖出Δ1-Δ0数量的标的物来调整后，投资组合变为：
long 一个期权，
short  Δ1标的物
持有现金  Δ0S0e^rdt + （Δ1-Δ0）S1
组合价值变为 V1-Δ0 S1 +Δ0S0e^rdt + （Δ1-Δ0）S1

t2 时刻，卖出Δ2-Δ1数量的标的物来调整后，投资组合变为：
long 一个期权，
short  Δ2标的物
持有现金  Δ0S0e^2rdt + （Δ1-Δ0）S1e^rdt  + （Δ2-Δ1）S2
组合价值变为 V2-Δ2 S2 + Δ0S0e^2rdt + （Δ1-Δ0）S1e^rdt  + （Δ2-Δ1）S2

以此类推
tn 时刻投资组合为
做多一个期权
做空 Δn的标的物

现金  Δ0S0e^nrdt +（Δ1-Δ0）S1e^（n-1）rdt+  .....+（Δn-1-Δn-2） Sn-1 e^rdt+ （Δn-Δn-1）Sn[sup][/sup]
[sup][/sup]

在T时刻组合价值为

Vn-ΔnSn +Δ0S0e^nrdt +（Δ1-Δ0）S1e^（n-1）rdt+  .....+（Δn-1-Δn-2） Sn-1 e^rdt+ （Δn-Δn-1）Sn

delta 对冲下在T时刻组合的盈亏为：

Vn-ΔnSn +Δ0S0e^nrdt +（Δ1-Δ0）S1e^（n-1）rdt+  .....+（Δn-1-Δn-2） Sn-1 e^rdt+ （Δn-Δn-1）Sn  -  V0e^rdt
V0e^rdt为期权成本价
可以写成积分形式

Va为实现波动率期权价格，Vi  为隐含波动率下期权价格

策略1
用实现波动率进行连续对冲

假设看涨期权隐含波动率20%，我们预测实现波动率为30%，为了套利，买入期权，然后用预测的30%的实现波动率对冲。假设预测准确，那么最后的盈利为  Va - Vi

假设标的物价格现在100，看涨期权strike =100，到期日为1Y，无风险利率5%，用Black - Scholes 算出

Vr = 14.23 Vi=10.45
所以预测收益=Vr - Vi= 3.78

用蒙特卡洛方法进行模拟：
模拟10次，每次模拟10000 次对冲
可以发现：
盈亏曲线有很大随机性

所有模拟结果最终都收敛于理论值
盈亏曲线有一条依赖于时间的下界

策略2

用隐含波动率连续对冲
从t到 t+dt 时间内delta中性的盈亏为

在极短时间t到t+dt盈亏是确定的，因为Γ 依赖于t时刻的标的物价格S
但是从0 到 T 时刻 delta中性总盈亏

从公式可以看出

做多gamma时，如果实现波动率大于隐含波动率，那么delta中性期权是有盈利的。
由于gamma 和标的资产价格S都是随机的，所以盈利具有随机性，而且是路径依赖的。

盈亏对gamma依赖很大。由于gamma在深度实值 ITM和深度虚值OTM时很小，所以盈亏波动比较小。

蒙特卡洛模拟20次模拟，每次模拟对冲10000次

从图中可以看出
当实现波动率大于隐含波动率，做多delta中性期权会盈利
最终收益有很大的随机性，且路径依赖

所有收益结果都为正，收益曲线单调上升，而且比较平滑

用隐含波动率进行非连续对冲
假设做多到期日为1个月的看涨期权，strike=100，标的物价格100

三种情况

1  隐含波动率与实际波动率一致

2 隐含波动率与实际波动率相差较小
3  隐含波动率与实际波动率相差很大

1隐含波动率与实际波动率一致
隐含波动率20%，实际波动率20%，理论盈亏为0，每天对冲一次
模拟10000次，每次模拟对冲21次，纵坐标为概率密度，横坐标为最终盈利
概率密度均值为0 即与理论收益相同，
方差为0.39 说明波动性比较大，即最终收益不确定性比较大

隐含波动率20%，实际波动率20%，理论盈亏为0，每天对冲4次
可以看到提高对冲频率，方差变为0.21 ，即不确定性减少。基本上对冲频率提高至4倍，标准差减小一半。

2 隐含波动率与实际波动率相差较小
隐含波动率20%，实际波动率25%，理论盈亏为0.58，每天对冲一次
理论盈利0.58模拟结果0.55，很接近，
但是由于方差0.58，所以波动性很大，可以看到，最终盈利是有负值出现的，即尽管判断对了波动率方向，但是由于有限对冲，还是可能出现亏损。

隐含波动率20%，实际波动率25%，理论盈亏为0.58，每天对冲4次

可以看到提高对冲频率后，收益均值0.57更加接近理论均值0.58。
而且方差显著降低，最终收益为负的情况大大减少。

3 隐含波动率与实际波动率相差很大
隐含波动率20%，实际波动率40%，理论盈亏为2.3，每天对冲一次
模拟均值2.23接近理论均值2.3
由于波动率很大，最终收益方差很大

隐含波动率20%，实际波动率40%，理论盈亏为2.3，每天对冲4次
提高对冲频率模拟均值2.28更加接近理论均值2.3
但是方差从1.37降到1.21，减少非常有限。

总结：
用实现波动率进行连续对冲，最终盈亏等于理论值。但是盈亏曲线有很大随机性。

用隐含波动汇率进行连续对冲，最终盈亏随机，但是盈亏符号不变。即判断对方向一定会盈利。
用隐含波动率进行非连续对冲，
-三种情况下，模拟均值和理论均值非常接近。
-隐含波动率和实现波动率一致的情况下，提高对冲频率可以有效降低盈亏的标准差。对冲频率提高四倍，盈亏标准差减半。

-隐含波动率和实现波动率相差较小的时候，在对冲频率较低时，即使判断对波动率方向，非连续对冲可能使盈利为负。

-隐含波动率和实际波动率相差较大时，提高对冲频率不能有效降低盈亏标准差。即对冲效果并不好。