关于波动率曲线的拟合

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关于波动率曲线的拟合

自1987年的金融危机之后，人们发现虚值期权的隐含波动率应该比实值期权的隐含波动率要高的，而并不是像B-S模型中所描述的那样：所有执行价的隐含波动率都是一样的。期权价格也表现出对到期时间的依赖。
Black-Scholes的模型是基于股票价格服从几何布朗运动，而且这个布朗运动的漂移和波动率是常数，以及市场是无套利机会的。由于模型参数的简单性，Black-Scholes模型及其修正版本是金融实践中最常用的期权定价模型。然而，对Black-Scholes模型进行修改是必要的，因为经验证据表明，波动率为常数的Black-Scholes模型在不同执行价和到期的合约之间显示了系统偏差。这个也同样可以通过Black-Scholes模型反推出隐含波动率证实。波动率对执行价的依赖我们通常称为波动率微笑或者波动率倾斜。波动率对到期时间的依赖我们通常称为波动率期限结构。期权交易者充分意识到布莱克-斯科尔斯模型的局限性，但他们并没有取代该模型，而是对其进行了充分的修改，以弥补某些缺陷。
对于需要在给定的行使价和到期日提供期权价格的期权做市商而言，波动性表面是必不可少的。如果特定的期权是流动的，做市商可以使用期权的报价。但是如果期权的流动性不足或者买一价与卖一价的差值太大或者期权现价有偏差，这样的交易价格会导致成本可能增加很多的。投资者需要以什么样的价格交易才比较合适？合适的价格需要合适的波动率。事实上，期权市场没有很多期权的流动报价，因此，需要一种插值或者拟合的工具才能从其他流动性充足的期权中提取特定期权的价格。本文介绍的方法主要是针对波动率微笑的二次曲线拟合与样条插值，对于波动率期限结构的方法类似。
首先，我们先介绍波动率微笑曲线的拟合。所谓的二次曲线拟合是指，用二次多项式拟合波动率曲线。假设有n个期权合约(一般情况下我们选取的是价外期权合约)，这些期权的到期时间是一样的，我们得到了
n个数据点(i=1,...,n)。假设拟合的曲线是

                     （1）
这样我们的目的是寻找最有的参数
、
和
，使得

                           （2）
成立，其中
是指用（1）式计算得到的值。这个最优化的问题（2）求解比较容易，就是我们熟悉的最小二乘问题或者是线性回归分析问题的解法一样。
另外投资者也可以按照流动性好坏，来选取需要拟合的期权合约。例如选择市场上流动性排名在前80%或者前50%的期权。至于流动性好坏的定义各有千秋，但是大部分关于流动性的定义集中在交易价格、交易数量、交易时间、价格冲击等几个方面。目前研究学者也提出了一些流动性指标，例如“紧度”(Tightness)(在短时间内出清头寸的成本),“深度”(Depth)(改变一定价格所需新订单流的大小),“弹性”(Resiliency)(价格遭受一个非信息性随机冲击后的恢复速度),“宽度”(Width)(价格偏离市场有效价格的程度),“即时性”(Imme-diacy)(交易得到执行的时间)等。流动性指标不是我们这篇文章的重点，这里就不细细阐述了。
然后我们介绍波动率点之间的插值方法。插值与拟合的区别在于，插值方法是没有残差项的，也就是插值给出的表达是，对于给定的点
一定是在插值曲线上的，但拟合却不是。常见的插值有多项式插值和样条插值。假设已知函数
在N+1个点
处的函数值为
，但函数表示式
未知，那么可以通过插值函数
来逼近未知函数f(x)。
假设已知函数y=f(x))在N+1个点
处的函数值
，但函数的表达式f(x)未知，那么可以通过插值函数p(x)来逼近未知函数f(x)并且p(x)必须满足

                  （3）
常见的插值函数的形式有多项式函数、样条函数。
多项式插值函数指，令p(x)为N次多项式函数，于是p(x)有N+1个参数，而由公式(3)可知这N+1个参数满足N+1个约束条件，所以可以求出p(x)的表达式。
样条插值函数：我们知道N阶多项式函数必然有N1个极值点，所以得到的插值函数摆动会比较大，这就容易出现过拟合现象，可以用样条函数来避免这个问题。这里的样条函数其实就是分段函数，表示在相邻点
和
之间用低阶多项式函数
进行插值。分段线性插值指的
是线性函数，三次样条插值的
是三次多项式，并且满足插值函数
、一阶导数
、二阶导数
在各个区间
都是连续的，也就是满足：

加上对两端点
和
的微分加些限制，就可以解方程了。限制条件的选择不是唯一的，3种比较常用的限制如下：
1.自由边界：指端点的二阶导数值为0，极为线性插值，这样的话让两端没有任何让曲线弯曲的力。

2.固定边界：首尾两端点的微分值是被指定的。
3.非节点边界：指定样条曲线的三次微分匹配，即
和
。
下图是以2019年11月19日收盘后，12月份认购合约的隐含波动率做的插值和拟合图。总共10个执行价，因为12月份其他执行价的认购合约的隐含波动率为0，出现严重偏差，因此剔除。

从图上我们可以看出二次曲线拟合过于简单光滑，没有在断点处进行约束容易出问题，像图中最左端处。线性插值在每个节点处不光滑，太过简单。三次样条插值去除了线性插值中节点处不光滑的问题，但也容易出现过拟合现象。这些方法各有优缺点，读者可以自行选取。

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