衍生品定价（学习笔记）— 外汇期权（二）

上一篇中讲了外汇期权市场交易的机制和要素。
本节总结一下期权定价原理。外汇期权也是期权的一种，标的为外汇，和经常研究的股票期权性质类似，只是股票期权标的是股票。所以这里我们先研究普通的股票期权定价方法。
学习期权定价原理，看到里面用的各种数学公式和各种假设，作为非专业人员不免有点摸不着头脑。不过我们的目标是做系统，只要大致知道其中的原理就可以了。我经过几天的学习，大致梳理出来了期权定价的思路。
期权定价常见的有两种方法：1. 二叉树 2. BSM模型
先说比较简单的二叉树方法：

指的是在树形上的每一步，股票价格以某种概率会向上移动一定的比率，同时以某种概率会向下移动一定的比率。在步长足够小的极限状态下，这种模型与BS模型一致，书中证明当步长变得越来越小时，由二叉树给出的欧式期权价格收敛到布莱克-斯科尔斯-默顿价格。

这个方法相对简单，是说我们先假设市场上是没有套利机会的。然后构造一个由股票和期权的投资组合，保证这个投资没有风险，收益率等于无风险收益率，从而推出公式。以下是一步二叉树定价的分析图

S0: 股票价格
f: 期权的当前价格
期权的期限是T，在有效期内，股票会上涨到S0u，或下降到S0d，其中u>1, d<1, 当股票上涨到S0u，对应的期权价格是fu，股票下跌到S0d，期权价格是fd。我们考虑一个由Δ单位股票的多头与一份期权的空头所组成的投资组合。我们可以找到一个使投资组合没有任何风险的Δ。按照无套利假设有下面的公式（2 -1）。可以推算出Δ，再考虑无风险利率折算到当前，最后得到期权的定价公式如下（2 - 2）。

2 - 1

2 - 2

值得注意很神奇的事情是，期权的价格与股票上涨和下跌的概率没有关系。这个公式中，没有提到股票上涨和下跌的概率，也就是无论概率是多少，期权价格都是一样的。这里的关键原因是我们并不是在一个绝对的条件下对期权进行定价的。我们是根据股票价格来计算期权价格的，未来股票价格上涨与下跌的概率已经反映在它的价格之中。因此，当根据股票价格对期权定价时，我们无须考虑股票上涨与下跌的概率。

然后引入“风险中性定价原理”。债券定价用到的是现金流折现，期货定价是无套利定价原理，那么期权的定价原理就是遵循“风险中性定价原理”。

所谓的风险中性定价（risk-neutral valuation）：对衍生产品定价时，我们可以假设投资者是风险中性（risk-neutral）的。这个假设是指投资的风险增长时，投资人并不需要额外的预期回报率。所有投资者都是风险中性的世界叫作风险中性世界（risk-neutral world）。

理解起来就是，投资人对风险的态度是影响不了价格的。

风险中性世界的两个特点可以简化对衍生产品的定价：
（1）股票（或任何投资）的收益率期望等于无风险利率。（2）用于对期权（或其他证券）的收益期望值贴现的利率等于无风险利率。

以上说明了二叉树定价的原理，用了最简单的一步二叉树说明，并引入了风险中性定价。也可以用多步二叉树定价，原理类似，参考风险中性定价原理，股票的价格可以从根部向叶子节点推理，期权价格从叶子节点向根部推算。当步长足够多时，二叉树定价原理收敛于BSM模型。
接下来讨论BSM（Black-Scholes-Merton）模型：

BSM推导过程：
首先，BSM有以下假设前提：

股票价格服从对数正态分布，也可以说服从几何布朗运动
没有交易成本和税收，所有资产都可以无限细分。意思是资产是连续函数，可以求导
假设无需支付红利
没有无风险套利的机会
标的资产价格不会出现跳空，价格是连续变动
无风险利率是常数，所有期限的利率都相同
所有期权都不会提前执行（欧式期权）

然后推导的时候，运用了已有的两个重要公式（站在了巨人的肩膀上）：

期权的underlying服从几何布朗运动。

几何布朗运动 (GBM)（也叫做指数布朗运动）是连续时间情况下的随机过程，其中随机变量的对数遵循布朗运动。

伊藤引理：提供给我们对一个随机过程的函数做微分方程的方法。

左边是一个衍生产品的价格变动。

关键因素（构造一个风险中性的组合，就可以得到无风险回报）构造一个在很短的时间里，没有风险的组合。

那么如何构造一个无风险组合呢？
通过以上两个公式可以推导出来，可以消除掉带有主观意愿的股票价格的预期回报率，只剩下客观因素。
最后得到欧式期权的定价公式

N(d1) : 代表对冲比例，Hedge ratio. 代表股票价格变动一块钱，期权价格变动几块钱。期权价格对股票价格求导数。
N(d2): 风险中性下的执行概率。股票价格高于执行价格的概率。
以上就是期权定价方法说明。
那么外汇香草期权的定价，定价原理是一样的。只是因为标的不同，要考虑一些不同因素。
下一节继续隐含波动率的学习。
参考：
《期权、期货及其他衍生产品》，作者约翰·赫尔。
几何布朗运动_百度百科

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