薛定谔方程为什么左边能等于右边？

左边是对空间的二阶微分，物理含义是梯度的变化趋势；右边是对时间的一阶微分，是一个定点的上下震荡，二者没有共同的物理含义，怎么能等号到一起来？

期权匿名回答 · 2023-2-6 14:38:57

费曼告诉我们，从A到B的演化需要吧A到B的全部路径加权求和，同时h取0的时候我们需要得到经典方程。（HJ方程）
然后这种演化的微分形式就是薛定谔方程（23333

期权匿名回答 · 2023-2-6 14:39:13

题主给出的图

中的左边是坐标表象下的非相对论性哈密顿量

对波函数的作用。其中空间微分来自于动量算符，然而方程中完全可以没有空间微分，比如说切换到动量表象，此时方程中的位置波函数让位给动量波函数，此时动量算符的作用就变成单纯地乘以动量，而势能算符会带来对动量的微分 。
或者，我们单纯考虑自旋态，如

为自旋在磁场中的薛定谔方程（表象）。
可见，把我们对薛定谔方程的意义的讨论局限于某种系统的某种表象下是不合适的，我们应当考虑不依赖于系统或表象的态矢量的薛定谔方程：

其中哈密顿量可以有非常任意的形式，单体/多体，相对论/非相对论，都无所谓。所以不必纠结空间微分，这里关键的只有时间微分。
那么该怎么理解呢？可以说，这里的并不是单纯的态矢量（不是某个特定的时刻），而是态矢量的历史，或者说是一个从实数集（时间）到态空间上的映射

每给出一个时刻，就输出一个态矢量，薛定谔方程就是说，对这样一个映射求时间导数，就得到态矢量在某时刻的变化率为

如果我们先知道历史，那就能发现它的导数和哈密顿量有关，得到系统的哈密顿量——但实际情况往往是反过来，我们先知道系统的哈密顿量，于是就可以求出态的变化率，从已知的初态求出未知的末态，求出历史：

为什么是这样？这是量子理论的基本假设。为什么要这样假设？一是过去经典力学的理论成果告诉我们哈密顿量可以生成时间演化——当系统具有时间平移不变性时它就是守恒的能量，于是人们在建立量子力学时通过类比提出了这样的假设；二是量子力学建立后，基于此给出的实验预言得到了检验，于是这样的假设确实是有可靠性的。
我们还可以更加一般，考虑演化算符的薛定谔方程，这允许我们不局限于量子态的时间演化：

代入上面的态矢量的薛定谔方程就得到（注意是一个特定的态矢量，或者说常矢量）

于是对可观测量如期望值，可以搞一个骚操作：

把中间的视为一个整体，叫做在生成的动力学下时刻的算符（不考虑算符显含时间的情况），这样我们就可以用不随时间演化的态矢量和随时间演化的算符来求各种可观测量，这叫做海森堡绘景，薛定谔方程此时让位给算符的海森堡方程：

在这种视角下波函数的“振荡”压根没有了——波函数始终维持初态！系统的变化体现在了我们难以想象的算符的“振荡”上——不过也没关系，只有单粒子的波函数是三维构型空间中的波动，多粒子维度直接爆炸，我们本来也想象不了绝大多数波函数（笑）。
还可以让态矢量和算符都分担一部分时间演化，称为相互作用绘景。
总而言之，这里的全部物理就在于哈密顿量是时间演化的生成元。

期权匿名回答 · 2023-2-6 14:40:12

不知道其他答主在强行解释什么。
题主说的没错，因为这个方程本来就是错的，它是不等于的。这是一个非相对论下的近似方程，一个二阶一个一阶的锅来源于他用的是非相对论的在壳条件
，
如果采用相对论形式

那么这个方程就会被改写为

也就是著名的Klein-Gordon方程。这个方程保留了二阶导，但是会有负能解和负几率的问题。
另一个改写方案是Dirac方程

这个保留了一阶导，负几率问题被克服了，但是负能解问题还存在。Dirac方程比Klein-Gordon方程知名的原因是它成功预言了电子磁矩，但仍然没有彻底解决相对论性量子力学的问题，特别的因果性的违背。这些问题直到量子场论的诞生才被彻底的解决。

期权匿名回答 · 2023-2-6 14:41:12

正如另一个回答所说的，这是一个关系式。等式左边发生的事情，跟等式右边发生的事情具有等价关系。物理学使用了数学语言，但等号的含义，有些区别。
方程的左边和右边相等，是一个基本假设。验证的方法，可以分别利用不同的方法测定等式左右两边的取值，相等说明假设正确；或者看等式一边的改变，是否依据等式另一边描述的规律发生相应的改变。或者用其他间接的办法。总归是要有实验证据的。
学习自然科学，要动起手来。以前为什么只有土豪能研究物理学？显然是因为实验设备比较贵。后来物理学实验的成本越来越高，基本上个人无法完成了。但现在好在可以进行虚拟仿真实验，对学生来说是好事，但要有这方面的意识。
Seeing is believing，你怎么知道书上说的是对的？要给自己出题，并自己解题，形成正循环。

（卡诺热机，正循环，做正功）
5. 推荐林秀豪的《热物理学》在线教学视频，第一堂课里就说明了物理学中的几种不同的公式，以及讲解了要如何看待它们、如何学习它们。

期权匿名回答 · 2023-2-6 14:41:22

因为这并不是能推导出来的“数学恒等式”，而是作为物理假设的动力学方程。物理图像上来说左边是体系空间分布，右边是体系随时间的演化，薛定谔方程正是用来描述体系空间分布如何引导体系演化的动力学方程。就如同牛顿定律F=ma，左边是描述体系的“力”，右边描述体系的运动，合起来便是描述经典情况下力指导体系演化的动力学方程。更确切地说，和经典动力学方程左边的力类似，薛定谔方程左边的空间分布部分实际上是哈密顿算符，在初等量子力学中算符与经典力学的力是对应的。初等量子力学是描述算符引导波函数演化的模型。
总而言之，左边与右边物理意义完全等同的叫数学恒等式，并不包含任何物理实质，而左右描述的“数学”不一致的等式才真正包含了深刻的物理图像。
当然，薛定谔方程是非相对论条件下的动力学方程，不满足相对论协变性。KG方程与Dirac方程使得方程两侧对时间空间求导次数一致，得到了相对论性的动力学方程。

薛定谔方程为什么左边能等于右边？

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