历史波动率计算

历史波动率是从标的资产价格的历史数据中估计出来的波动率，是对历史的回望，也是对未来波动率预测的基础。历史波动率的计算有多种方法，本文分别进行讨论：
1. 利用较短时间内近似法

在一个较短的时间内，可以假定股价S为一个常数，股价的变化近似的有：

其中为一段时间内S收益率的期望值，为S收益率的标准差，为极限中一个足够小的正数。
由此可得：

所以有：

小结： 在一个较短的时间内，计算S的收益率，计算其方差，再除以，从而得到。
这也是在二叉树方法中，通过期望收益率和波动率，计算标的价格从变化到或者的方法。
2. 利用伊藤引理

根据B-S模型，股价运动符合布朗运动，因此有：

其中为一段时间内S收益率的期望值，为S收益率的标准差，为布朗运动的漂移率。
利用，以及伊藤引理，可得：

由于漂移率和方差都是常数，可得：

因此可以采用以下方法推导历史收益率：

选择一个时间窗口N，可以是30，60，90天
计算标的日收益率：，其中为t日收盘价，为t-1日收盘价
计算N日的均值：
计算N日的标准差，也就是日波动率：
计算一段时期内的波动率：。T为一段时期的交易日数量，周交易日为5，月交易日20，年交易日为244（国内市场）。

如果实际的长周期波动率小于计算得出的HV，收益率的时间序列可能会均值回归，反之收益率的时间序列可能会有趋势特性。