算法与高频交易：金融随机微积分基础（一）

Reference:
Cartea , Jaimungal S, Penalva J. Algorithmic and high-frequency trading[M]. Cambridge University Press, 2015.

随机微积分是一个偏难、痛苦、但不能不熟悉的话题。
1 Filtered Probability Space

记为，其中：
① ：所有事件空间
② ：可测事件集合
③ ：Filtration，有，且右连续Right Continuous，
2 Diffusion Processes：Brownian Motion 布朗运动

标准布朗运动是定义在完整概率空间Complete Probability Space   上的随机过程，满足：
①
② 具有独立平稳的增量：对于，增量是独立的，且其分布和无关
③ 随机变量服从正态分布：
④ 函数 almost surely是连续的
3 Stochastic Integrals w.r.t Brownian Motion

对于，以时刻对其无限划分，得到无限个小区间，有范数：

当，
3.1 伊藤积分 It Integral

对于随机过程，满足 - Square可积，即，有：
其中，对于时间区间，，从金融角度可以看作，在时间区间的开端开仓，可以看作资产价格的变化，这部分解释了为什么伊藤积分在金融中的应用广泛
3.2 It Isometry

如果，即是，且，那么：

Remarks.

被称为伊藤过程It Process，即使布朗运动并不是处处可导，也可以写成微分的形式：，也常写为更general的形式：

或者写为微分的形式：
3.3 It Integrals are Martingales

是一个鞅

① 是
② 布朗运动的增量的期望是0：
3.4 It Formula

是一个n维的列向量，各列均为独立的布朗运动，是一个m维的列向量，存在SDE：

是m维的列向量，代表drifts；是维的矩阵，代表volatilities
定义一个新的伊藤过程   ，有：

：对的一阶导数，是m维的列向量

：对的各个元素的二阶导数，是   维的矩阵
3.5 Infinitesimal Generator

对于随机过程：
对于 It Formula ：