算法与高频交易：金融随机微积分基础（二）

Reference:
Cartea , Jaimungal S, Penalva J. Algorithmic and high-frequency trading[M]. Cambridge University Press, 2015.

接着上一篇：算法与高频交易：金融随机微积分基础（一）
1 Jump Process

跳过程的基础组成成分是计数过程Counting Process，更具体来说，是泊松过程Poisson Process。
1.1 Poisson Process

对于一个 到达密度Intensity 为的泊松过程，有如下性质：
①
② ，即：
③ 增量独立，即和独立；且其分布与无关，即
Remark.
泊松过程的两次事件的 时间间隔 服从 指数分布。
由性质③可知，和的分布是一致的，令为第一个事件达到的时刻：

泊松过程的期望：
1.2 Compensated Poisson Process

，，是一个鞅
1.3 Stochastic Integral w.r.t Compensated Poisson Process

其中，是泊松过程的事件发生时刻，即 jumps
也可以写为：，
1.4 It Formula for Poisson Processes

随机过程，：

Infinitesimal Generator 为：
1.5 It Formula for Single Jumps and Diffusions

那么，对于：

2 Compound Poisson Process

对于普通的泊松过程，，事件发生时刻，计数均增加1。
对于复合泊松过程，每次事件发生时刻，jump的大小/事件的发生个数为，
即，，
2.1 Compensate Compound Poisson Process

是一个鞅
2.2 It Formula for Jump-Diffusion

类似的，