时间序列分析笔记9：金融风险（二）

1. 分位数回归

VaR是小尾概率的的上侧分位数。分位数估计为VaR计算提供了一种非参数方法。它对投资组合的损失变量没有具体的分布假设，只是在预测期内分布继续持有。有两种分位数方法，实证分位数(Empirical quantile)和分位数回归(Quantile regression)。
1.1 实证分位数

预测期内的损失变量与样本期内的损失变量相同。令为样本期内投资组合的损失，顺序统计为：

是第 顺序统计量(order statistic)。假设损失变量独立同分布，那么对于顺序统计量有：

其中为的第分位数。根据先前的结果，可以使用来估计。
若是非整数，则在附近选择两个相邻的整数，使。定义，则估计为：

对于ES，我们只使用大于或等于VaR的数据的样本平均值。设，且是满足的最大整数，则：

1.2 分位数回归

直接分位数估计没有考虑到与所研究的投资组合相关的解释变量的影响。一个通常有解释变量可用，这对研究中的问题是重要的。那么考虑分布函数更为合适，其中为包含解释变量的信息集。即感兴趣的是在给定条件下，分布函数的分位数。这样的分位数称为回归分位数。
设线性回归：

其中，是中元素的预测向量。的条件分位数是：

其中，意味着来源于：

其中：

在R语言中，用命令 quantile() 获取经验分位数，使用包 quantreg 进行分位数回归分析。
2. 极值理论 EVT

2.1 三种极限分布

设为损失变量的样本最大值。EVT与经过适当缩放和定心后的的极限分布有关，即。对于独立样本，归一化(normalized)最大值的极限分布为：

其中：

下标表示归一化最大值。是控制极限分布尾部行为的形状参数，称为该分布的尾部指标。结果包含了Gnedenko(1943)的三种极限分布，累积分布函数 CDF 不同：
第Ⅰ型：，耿贝尔族(Gumbel family)。CDF 为：

第Ⅱ型：，弗雷歇族(Fréchet family)。CDF 为：

第Ⅲ型：，威布尔族(Weibull family)。CDF 为：

上述EVT有两个重要含义：

的CDF 的尾部行为决定了归一化最大值的极限分布。序列和依赖于CDF
尾部指数不依赖于的时间间隔。即在时间聚集下，尾部指数是不变的，在VaR中计算很方便

在 Tsay 的书中章节 7.6.2，还介绍了实证评估方法：

分块最大法(Block Maximum Method)
最大似然法(Maximum Likelihood Method)
非参数方法：Hill 估计量或者 Pickands 估计量

在R语言中，用 evir、evd、POT 和 extRemes 做EVT分析
2.2 与VaR的联系

对于区块最大，需要两步程序，将EVT应用于风险度量。对于给定的小上尾概率，损失变量为的财务头寸的VaR为：

其中是子周期的长度。EVT下的多周期VaR为：

将传统EVT应用于VaR计算的方法总结如下：

选择子周期的长度，得到子周期最大值，其中
得到的最大似然估计
如果极值模型足够，则使用上述公式计算VaR

2.3 峰值过阈值 POT

传统的EVT风险计算方法遇到了一些困难：

子周期长度的选择没有明确定义
该方法仅使用子周期最大值，不能有效利用损失数据
这种方法是无条件的，因此没有考虑到其他解释变量的影响

为了克服这些困难，峰值过阈值(POT, Peaks Over Threshold)不再关注极端情况(最大值或最小值)，而是关注损失超过某个高阈值的情况以及超出阈值的次数。

POT方法的基本理论是考虑在给定的情况下的条件分布。
对于 , 的条件分布是：

利用和的近似，得：

其中，且
广义帕累托分布(GPD, generalized Pareto distribution)是具有以下CDF的概率分布：

其中：

Latex附录（书写大括号）
w_q(z) =\left\{\begin{array}{lcl}
qz, && z \geq 0\\
(q-1)z, && z < 0
\end{array}\right.又见：FRM2级：C15 单变量模型
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