赫尔《期权、期货及其他衍生产品》笔记第20章波动率微笑 ...

赫尔《期权、期货及其他衍生产品》笔记

第20章波动率微笑

波动率微笑（volatility smile）是指描述期权隐含波动率与执行价格函数关系的图形。
20.1 为什么波动率微笑对看涨期权与看跌期权是一样的

当欧式看涨期权与看跌期权具有同样的执行价格和期限时，看跌-看涨平价关系提供了它们之间的一个等式：当标的资产提供股息收益率q时，这个关系为

与通常一样，c和p分别代表欧式看涨和看跌期权的价格，它们具有同样的执行价格K与期限T。变量为今天的标的资产价格，r为对应于期限T的无风险利率。
看跌-看涨平价关系式的一个重要特征是它建立在比较简单的无套利机会基础上。这以结果不需要对资产价格的分布做任何假设，无论资产价格是否服从对数正态分布，这个关系式都是成立的。
假定对于某个给定的波动率，与是布莱克-斯科尔斯-默顿模型得出的欧式看跌与看涨期权的价格。在假定与为这些期权的市场价格。因为看跌-看涨平价关系式对于布莱克-斯科尔斯-默顿模型也成立，因此我们有

在无套利的前提下，看跌-看涨平价关系式对市场价格也成立

以上两个公式相减，我们得出

以上公式说明：当采用布莱克-斯科尔斯-默顿模型对具有相同期限与执行价格的看跌及看涨期权定价时，公式所产生的误差应完全相同。
换句话讲，对于给定的执行价格及期限，利用布莱克-斯科尔斯-默顿模型对欧式看涨期权定价与对欧式看跌期权定价必须要采用同样的波动率。更一般地讲，这说明波动率微笑曲面（即隐含波动率作为执行价格与期限的函数）对看涨期权与看跌期权是一样的。对美式期权，这些结果在近似意义下也是正确的。
20.2 外汇期权

平值期权的隐含波动率相对较低，但隐含波动率随着期权实值程度或虚值程度的增大而逐渐升高。

通过在某一时间到期的期权波动率微笑，我们可以确定在同一时间资产价格的风险中性概率分布。我们将这一概率分布称为隐含概率分布（implied distribution）。隐含概率分布比对数正态分布更具有肥尾特征。

我们首先考虑一个具有很高执行价格的深度虚值看涨期权。这一期权只有在汇率高于时才会产生收益。这一期权在隐含概率分布下产生的价格会偏高。较高的价格会对应于较高的波动率，这刚好是我们观察到的现象。因此对于较高的执行价格，这两个图形是一致的。接下来，我们考虑一个具有很低执行价格的深度虚值看跌期权。这一期权只有在汇率低于时才会产生收益。这一期权在隐含概率分布下产生收益的概率大于在对数正态分布下产生收益的概率。因此我们期望对于这一期权，由隐含分布所产生的价格也会偏高，从而期权的隐含波动率也会偏高。这正是我们所观察到的现象。
20.2.1 实证结果

外汇期权交易员采用的波动率微笑意味着他们认为对数正态分布会低估汇率的极端变动。
20.2.2 外汇期权波动率微笑存在的原因

资产价格服从对数正态分布的两个条件是：
（1）标的资产的波动率为常数；
（2）标的资产价格变化平稳并且没有跳跃。
在实际中，以上的假设对于汇率来讲均不成立。非常数波动率和跳跃都会使得汇率变化产生极端情形的次数更多。
跳跃与非常数波动率对期权价格的影响与期权的期限有关。当期权期限增大时，非常数波动率对期权价格变化百分比影响的程度变得越来越大，但同时对隐含波动率变化百分比影响的程度却越来越小。当期权期限增大时，跳跃性期权价格变化以及隐含波动率变化的影响越来越小。这一结果的直接推论是当期权期限增大时，波动率微笑变得越来越弱。
20.3 股票期权

波动率倾斜（volatility skew），这时，波动率是执行价格的递减函数。第执行价格期权（也就是深度虚值看跌期权与深度实值看涨期权）所对应的隐含波动率要远高于高执行价格期权（也就是深度实值看跌期权及深度虚值看涨期权）。

股票期权波动率微笑对应于由实线所表达的概率分布。其中虚线代表一个与隐含概率分布有同样均值和标准差的对数正态分布。可以看出隐含概率分布比对数正态分布有更肥的左端尾部和更瘦的右端尾部。

考虑深度虚值期权。考虑执行价格为的深度虚值看涨期权在假设隐含概率分布时的价格低于在假设对数正态分布时的价格。这是因为这一期权只有在股票价格高于时才会产生收益，而隐含概率分布与此所对应的概率低于对数正态分布所对应的概率。因此，我们会期望由隐含概率分布得出的期权价格会低于由对数正态分布得出的期权价格。较低的价格会对应较低的隐含波动率，而这正如图所示。接下来，我们考虑一个执行价格为的深度虚值看跌期权。这一期权只有在股票价格低于时才会产生收益。这一期权在隐含波动率分布下产生收益的概率将大于在对数正态分布下产生收益的概率。因此对于这一期权，隐含概率分布所对应的价格也会偏高，从而隐含波动率也应该偏高。这正是我们所观察到的现象。
####股票期权波动率微笑存在的原因
关于股票期权中波动率微笑的一种解释是杠杆效应：当公司股票价格下跌时，公司杠杆效应增加，这意味着股票风险增大，因此波动率增加。而当公司股票价格上涨时，杠杆效应降低，股票风险变小，因此波动率会减小。这种观点说明股票波动率应该是股票价格的一种递减函数。另外一种解释是交易员对股票市场暴跌的恐惧。
20.4 其他刻画波动率微笑的方法

我们将波动率微笑定义为隐含波动率与执行价格之间的关系，这种关系与资产当前价格有关。波动率微笑有时被定义为隐含波动率与（而不是与K）之间的关系。这时的波动率微笑也会变得更加稳定。
对这种描述方式的一种改进是将波动率微笑定义为隐含波动率与之间的关系，其中是具有与所考虑期权相同标的资产和相同期限的远期价格。交易员也经常将平值期权定义为，而不是的期权。这样做的原因是（而非）为在风险中性世界中股票在期权到期时价格的期望值。
另外一种方式是将波动率微笑定义为隐含波动率与期权Delta之间的关系。利用这种方式，我们有时可以将波动率微笑应用于欧式和美式看涨和看跌期权之外的其他产品上。当应用这种方法时，平值期权被定义为Delta等于0.5的看涨期权，或Delta等于-0.5的看跌期权。这些平值期权被称为“50-Delta期权”（50-delta options）。
20.5 波动率期限结构与波动率曲面

交易员允许隐含波动率既依赖于执行价格，也依赖于期限。当短期限波动率在历史地位时，隐含波动率往往是期限的递增函数，因为这时人们认为波动率将会升高。类似地，当短期限波动率在历史高位时，波动率往往是期限的递减函数，因为这时人们认为波动率将会减小。
波动率曲面是将波动率期限结构与波动率微笑结合在一起所产生的表格，这一个表格可用于对不同执行价格与不同期限的期权进行定价。

波动率曲面的其中一个变量为，另一个变量为期限。波动率曲面的数值是由布莱克-斯科尔斯-默顿公式得出的隐含波动率。在任意给定时间，波动率曲面的某些点对应于市场价格比较可靠的期权价格数据，对应于这些点的隐含波动率可以直接由期权市场价格来求得，并被输入波动率曲面之中。波动率曲面上其他点的数据常常是通过插值来得出。从表中我们可以发现当期权期限变长时，波动率微笑变得不太明显。如前所述，这正是在从汇率期权上可以观察到的现象。
当我们需要对一个新的期权定价时，金融工程师会在波动率曲面取得适当的数据。
波动率微笑的形状与期权的期限有关。随着期权期限的增大，波动率微笑的幅度变得越来越小。假如T代表期限，代表期限与所考虑期权相同的资产的远期价格，有些金融工程师将波动率微笑定义为隐含波动率与变量

之间的函数，而不是将波动率直接定义为隐含波动率与执行价格K的函数。这种方式的微笑通常与期限T的关系不大。
20.6 希腊值

假设对于某个期限，期权的隐含波动率与的关系保持不变。当标的资产价格变化时，期权的隐含波动率也将会变化从而反映期权的在值程度（moneyness）（即期权的实值或虚值程度）。看涨期权的Delta计算公式变为

其中是以资产价格S和隐含波动率为函数的布莱克-斯科尔斯-默顿期权价格。考虑以上公式对股票看涨期权Delta的影响：波动率为的递减函数，这说明当标的资产价格增加时，隐含波动率也会增加。因此

所以，这里计算的Delta比布莱克-斯科尔斯-默顿假设下的Delta要高。
在实际中，对市场上常常遇到的波动率曲面变化，银行会尽量保证自身对这种变化的风险敞口要小到一定的合理程度。一种识别这些变化的技巧是主成分分析法（principal components analysis）。
20.7 模型的作用

我们可以认为布莱克-斯科尔斯-默顿模型只不过是交易员用来进行插值的工具。利用布莱克-斯科尔斯-默顿模型，交易员可以保证一个期权的价格与市场交易活跃的产品价格是一致的。假如交易员在某一天突然决定不再使用布莱克-斯科尔斯-默顿模型，而改用另一种合理的模型，这是波动率曲面会有所改变、波动率微笑的形状也会改变，但期权的市场现金价格不会有明显变化。甚至在改变模型后，得出的Delta也不会有很大的改变。
如果对于某个衍生产品，市场上没有预期相似的产品可以交易，那么模型对这个衍生品的定价就会至关重要。
20.8 当价格预计有大幅度跳跃时

实现所表达的概率分布为1个月后由两个对数正态分布叠加而成的股票价格分布。虚线代表一个与以上概率分布有同样期望值和标准差的对数正态分布。
真正的概率分布具有双峰（bimodal）（该分布显然不是对数正态分布）。一种研究双峰股票价格分布效应的简单方法是考虑像二项分布这样的极端情形。

隐含波动率微笑实际为隐含波动率皱眉（volatility frown）（与在货币中观察到的波动率微笑形状相反）。在这种隐含波动率微笑形式中，当期权变得更加实值或虚值时，波动率有所减小。

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