手把手教你期权希腊字母（中）

这期介绍一些高阶希腊字母以及他们的作用。
我们知道希腊字母的本质是偏导数，而泰勒公式可以将函数拆成多项式累加的形式。
如果将期权价值的变化看作原函数，那么希腊字母就是上式的各阶偏导数。而期权价值的变化也被拆分成各希腊字母维度上损益的累加。
举个例子，假设现在标的价格S=99元，年化波动率sigma=30%，无风险利率r=0。对应执行价格k=100元，到期日还有两周（考虑自然日ttm=14/365）的euro_call的价值可以通过BS公式得出为1.87元。在标的价格上涨2元之后，新的期权期权价值既可以通过带入新的标的价格S=101元求出，也可以代入泰勒公式将期权价值沿标的价格的方向展开，再使用希腊字母近似。
方法1：代入上涨后的标的价格S=101元，利用BS公式得到新的euro_call价值为2.89元。
方法2：先计算期权在标的价格等于99元时的delta=0.4437
，再带入泰勒公式：即得到新的euro_call价格为1.87+0.4437*2=2.76元。
此时我们观察到方法2得到的期权价值与方法1得到的结果尽管比较接近，但仍有2.76-2.89=-0.13元（-4.5%）的误差。误差产生的原因在于当标的价格变化的时候，期权的delta也在发生改变。下图所示：标的价格上涨到101元时，期权的delta已经从标的价格99元时的0.4447上涨到0.5788。正是由于这部分delta变化导致期权价值的变化被忽略，导致了用只用delta近似的期权价值被低估了。

那么如何衡量这部分误差带来的影响呢？一个直观并且简单的方法就是取标的价格S=100时的delta来代替原来S=99时的delta。这样做的好处是我们用99到101区间内中间点的曲线斜率近似作为这一区间内曲线斜率的平均值而不用去求了解每一点具体的斜率。
标的价格为100的delta依然可以利用泰勒公式得到： , 此时delta的斜率近似为 = (0.5788-0.4437)/2=0.0675。代入后得到： = 0.4437+0.0675*1=0.5112。所以，经过delta修正后的euro_call价格为1.87+0.5112*2=2.89元。这一近似结果已经与方法一的实际结果相当接近。
回顾我们在上一步做了什么，首先求出了delta的斜率delta&#39;，然后用中间点的delta代替初始delta代入泰勒公式。这里的关键是求出delta的斜率，其实这里的斜率就是期权的二阶希腊字母gamma。使用上期的公式可以求出当S=99时，期权gamma为0.0679，这与我们在上一步中使用差分得出的结果0.0675相差不大。用gamma代回delta&#39;后，即：，化简后即泰勒公式的二阶展开。
当然我们也可以直接使用泰勒公式沿标的方向二阶展开直接得到标的变化后期权价值的近似值： = 1.87+0.4437*2+0.0679/2*4=2.88。
由上述例子可知：用一阶希腊字母刻画期权价值变动是不够的，这也是为什么要引入高阶希腊字母。我们在BS公式的基础上，对各个变量求高阶偏导数即可得到高阶希腊字母。
上期我们介绍了前四个greeks，今天我们从第五个开始：
5、Speed：表示标的价变标动1单位带来gamma的变化，是期权价值对标的价格的三阶导数。期权。。，代入化简得。由于call与put的gamma相同，所以speed也相同。

由上图可知，Speed在K>S的部分大于0，而在K<S的部分小于0。这一性质有助于我们选择期权在值状态，如果对于标的大幅上涨有信心，那么otm_call会是比itm_call更好的选择，因为购买价外合约在标的上涨时既节省了资金成本，又能吃到期权在Speed上的收益，而这一部分收益去标的价格变动的三次方成正比。
6、Charm：期权价值对标的价格和时间的二阶偏导数，它既可以表示时间变动1单位对期权Delta的影响（Delta对-T求导），也可以表示1单位标的价格变动对Theta的影响（Theta对S求导）。
从Charm开始之后的其他二阶希腊字母的在求导时计算量都比较大，而所有的二阶希腊字母都可以使用差分近似通过一阶希腊字母求得数值解。所以图省事儿的朋友可以直接拿一阶公式作差分，感兴趣的朋友可以看看后面的推导。这里我们采用theta对S求导。
上期已经推导了，而put的Theta比call的Theta多常数。因为多出的部分中没有S，所以call_charm=put_charm相同。
第一项中，提出并乘以后，第一项为
第二项中只有里含有S，所以对S求导后得，因为 (推导见上期)，代入后消去得
最终得到。

由上图可知，Charm在K<S的部分大于0，而在K>S的部分小于0。这与Speed正好相反。由于时间只能不断向前，对于一个otm_call，它的delta会随着到期日临近而逐渐变小，而itm_call则会逐渐变大。Charm告诉我们在标的上涨时，otm_call仅用delta近似的期权价值变动被高估了，因为随之时间流逝，otm_call的delta在衰退，而int_call近似的收益则被低估了。
Charm的敞口在平值附近剧烈波动。对于一个买入calendar spread投资者来说，尽管表面上delta能够维持中性，但背后的charm和gamma会成为该头寸风控的关键。
下一期我们将介绍剩下的几个高阶希腊字母，请小伙伴们保持关注！