期权定价数学原理1

期权（Option），是一种选择权，指是一种能在未来某特定时间以特定价格买入或卖出一定数量的某种特定商品的权利。它是在期货的基础上产生的一种金融工具，给予买方（或持有者）购买或出售标的资产(underlying asset)的权利。期权的持有者可以在该项期权规定的时间内选择买或不买、卖或不卖的权利，他可以实施该权利，也可以放弃该权利，而期权的出卖者则只负有期权合约规定的义务。

看跌期权很多时候被当作股票持有者的一种对股价下跌风险的保险，比如20美元时买入的股票，同时买入某一段时间内18美元的看跌期权，这样即使股价跌到15美元你也能以18美元的价格卖出去。同时你也可以买入股价25美元的看涨期权，因为可能性不大所以期权的价格便宜，但如果股价涨到30美元，你就可以获得数倍的回报。
期权的价值

如上图的买入期权，成本为1d，但只有在股价超越20d时才有行使意义，由于1d的成本，21d以上才能开始盈利。

如上图的卖出期权，成本为2.5d，但只有在股价低于17.5d时才能开始盈利。

股票和期权盈利方式的差别

卖出这些期权的投行的盈利曲线则和投资者相反，如下图

上面一行为买入期权收益状况，下一行是卖出期权投行收益状况

如何投资者同时购买了看涨和看跌的期权，那说明他看准了近期股票会有较大的波动性，他的收益曲线如下

实际的V型线由于购置成本往下拉

而卖给他投行的收益曲线就正和他相反，所以如果是在股票动荡期，期权的价格也很不便宜。综上所述，期权既可以当中一种稳健投资的保险工具，也可以作为普通人赚取高额收益的杠杆工具，取决你怎么用它。
还有一种期权组合方式是你买入一种期权，并卖出一个不同价位的期权以降低你的期权购置成本，收益曲线如下图

而投行也乐于卖出这样的期权产品，降低了股票大幅波动对他们的风险，同时也使得该期权产品价格更便宜，吸引了认为股票波动局限在某一范围内的购买者。
一切皆期权
假设一个公司的对外债务为B,公司股东占有的价值为E,公司的目前总价值为V(如果其它公司收购这个公司不但要支付股东的权益同时负责外界债务)，那么公司股东所享有的预期利益为E=V-B，可以看作是公司股东享有行使价为B的买入期权，最好的收益为V-B，最差为0.

而公司债务人可以看成是拥有行使价为B-b（b为借款所得利息）买入期权，同时卖出行使价为B的买入期权，收益集中在B-和B之间。
热传导扩散方程与期权定价
Black-Scholes-Merton期权定价模型被MIT的数学家发现与热传导方程如出一撤，我们来研究看看为什么如此。首先我们来看看热传导方程是怎么建立的。
假设导热系数为k，密度为，比热为c，单位时间内流出的热量Q1有

单位时间内吸收的热量为Q2，则有Q2=Q1

因此有

即

假设内部热源单位时间，单位体积产生热量F(x,y,z,t),代入上面推导过程，则有

如果是恒定温度场，温度分布达到动态平衡，则有

方程的解为

，无热源

,有热源
这一切和期权定价模型有何相似之处呢，我们下一章继续分析。