布莱克-斯科尔斯-默顿期权定价公式

本文旨在分享一下推导BS公式的心得。
1.前置知识：

1.1马尔可夫过程：

在马尔可夫过程中，只有标的变量当前的值与未来预测有关，而其历史值以及过去到现在的整个演变方式与未来的预测均无关。这与弱型市场有效性（股票当前价格包含了过去价格的所有信息）一致。
例如：记{ }为一个马尔可夫过程序列，有：

其中，相互独立。
1.2维纳过程：

又称为布朗运动，是一种均值为0，方差为1的特殊马尔可夫过程。
若随机过程{}是一个维纳过程：

上式累加，得： ,令，由增量独立性可得：（做不严谨的推理，假装看作连续过程，T取无穷小），可以得到：

，(不妨记其微分形式为：（T很小时记作dt）维纳过程一般用z表示)
由基本的统计知识可知， ,
可知，的方差随T增大而增大，标准差与成正比。
继续进行不严谨但符合逻辑的推导：

, 近似看作有界量。

,则该极限值为
我们得到了，维纳过程处处连续却又处处不可导（处处“锯齿状”）
1.3广义维纳过程

(下文，均用 or 表示)
理解为带有趋势的维纳过程，形式为： , 为常数(a成为漂移率，b称为波动率)。
由上述推导，可写成： , 离散形式为：
显然，
1.4描述股票价格的过程

假设股票收益率时以为漂移率，以为波动率的广义维纳过程。
有：
即：
上式为描述股票价格行为最为广泛使用的模型。
1.5伊藤过程

伊藤过程是更广义的维纳过程，形式为：
我们发现上述描述股票价格行为的模型，正是伊藤过程。
2.构建模型

2.1定价思路

衍生品是股票的函数，假设 ,倘若S可微，我们可以利用微积分的方法进行分析，找出G服从的过程，构建偏微分方程，解出G。事实上，我们前文说明了S处处连续却处处不可导（一元函数可导等价于可微）。
2.2伊藤引理

为了解决S的可微问题，伊藤引理横空出世。
对于下述伊藤过程：
若 ,则G服从以下过程：

,显然，也是服从伊藤过程。
而上述我们假设，
离散形式为：
则此时,假设f为衍生品价值，，
离散形式为：
2.3利用Delta对冲导出BSM方程

构建一个组合：卖出一份欧式看涨期权，买入份股票。
组合价值为：

时间后，组合的价值变化为：
带入后，计算得组合价值变化为：
根据无套利假设，时间内的单位收益率应当为单位无风险利率
有：
将各变量带入上式后，得到：
这就是大名鼎鼎的布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程。
3.求解最终的BSM公式

根据风险中性定价原理（鞅方法）,以欧式看涨期权为例，
故，只要能够求出的表达式，便能得到最终的BSM公式。
而 ,可以根据S服从对数正态分布的相关知识求解，本文暂时省略这一部分的内容，后续将会给出详细证明细节。
最终可以得到：(以欧式看涨期权为例)