赫尔《期权、期货及其他衍生产品》笔记第28章鞅与测度

赫尔《期权、期货及其他衍生产品》笔记

第28章鞅与测度

28.1 风险市场价格

我们首先考虑只依赖与一个变量的衍生产品性质。假设所服从的过程是

这里是个维纳过程，参数m和s分别表示增长率的期望和波动率。我们假定这些参数只依赖于和t。变量并不一定是投资资产的价格，它可以代表与金融市场不大相关的东西。
假定和是两个只依赖于和t的衍生产品价格。这些可以是期权，也可以是在以后某个时间以和t函数形式提供收益的产品价格。我们假设在所考虑的时间区间中，和不提供任何收入。
假设与所服从的过程为

这里、、和都是和t的函数，其中的&#34;&#34;与上式的一致。这是因为它们代表与中不确定性的唯一来源。
我们现在用布莱克-斯科尔斯分析将价格与联系起来。把与的过程离散化

和

我们可以利用个单位的第1个衍生产品和个单位的第2个衍生产品建立一个瞬时无风险交易组合，我们可以将项去掉。如果用来表示这个组合的价值，那么

和

带入和，这个式子变成了

由于这个组合是瞬时无风险的，它必须挣取无风险利率。因此，

可以得到

或

注意，上式左边只依赖于过程中的参数，而右端只依赖于过程中的参数。我们定义为上式两边的值，那么

去掉下标，我们证明了如果f是一个只依赖于和t的衍生产品价格，并且

那么

参数通常称为的风险市场价格（market price of risk，在衡量交易组合表现的背景下，这个量被称为夏普（Sharpe）指数）。它可能依赖于和t，但却不依赖于衍生产品f的特性。我们的分析表明，如果没有套利机会，那么在任何时间上如果衍生产品f只依赖于和t，的值都必须是一样的。
变量的风险市场价格对于依赖于的证券在其风险与收益之间的平衡关系起着一个度量的作用。上式可以被写成

我们可以从直观上来理解这个方程。注意变量可以被不严格地理解成在f中的风险。在方程的右边，我们将风险的数量乘上风险的市场价格。表达式的左边是衍生产品在所得收益里高于无风险利率的部分，这部分可以被理解成对风险的补偿。上式与资本资产定价模型有些相似，它们都将高于风险利率的部分和风险联系了起来。
值得一提的是，我们很自然地会将参数称为f的波动率，它是的系数，但事实上的值可能是负的。当f与有负相关性是（即为负），情况正是这样。其实的绝对值才是的波动率。一种理解这一点的方式是注意当在f的过程中将换为时，两个过程具有相同的统计性质。
我们特别指出了投资资产与消费资产的区别。上式对所有不提供收入而且只依赖于和t的投资资产都成立。如果本身正好也是个投资资产，那么

但在其他情况下，这个关系并不一定成立。
其他世界

衍生产品价格f服从

其中依赖于投资者对风险的选择。在一个风险市场价格为0的世界里，等于0.可以得到，于是f服从

我们将称此为传统风险中性世界（traditional risk-neutral world）。
在对市场风险价格做一些其他假设后，我们还可以定义其他内在一致的世界。一般来讲，我们可以得出

于是

一个变量的风险市场价格决定了所有依赖于这个变量的证券的增长率。当我们从一个风险市场价格换成另外一个时，证券价格增长率的期望值将会改变，但它的波动率却不会改变。这是Girsanov定理的结论（我们在二叉树模型的情况下对次有过描述）。选择一个风险市场价格也被称为定义了一个概率测度（probability measure）。对于某个特殊风险市场价格，我们可以得到一个“现实世界”及其在实际中所观察到的证券价格增长率。
28.2 多个状态变量

假设由n个变量，它们服从以下形式的随机过程：对，

其中为维纳过程，参数和分别为表示增长率的期望与波动率，它们可以依赖于和时间。多个变量的伊藤引理。这个结果表示，一个只依赖于的证券价格f具有n个随机部分，并且可以表示成

在这个方程里表示证券的收益率期望，表示在这个收益的风险中可以归咎于的部分。和都可能依赖于和时间。
我们证明了

其中为的风险市场价格。这个方程将投资者对一个证券的额外收益要求与和联系了起来。这个式子右端的衡量投资者对于一个证券由于受影响而要求额外收益率补偿的程度。如果，那么没有影响。如果，那么投资者要求有更高的收益率来补偿由所引进的风险。当时，对的依赖性使得投资者对其所要求的收益率比不依赖时低。当一个证券会降低（而不是增加）一个典型投资者的投资组合风险时，情况才会成立。
上式与套利定价理论有着密切的关系。连续时间下的资本资产定价模型（CAPM）可以被看成这个方程的特殊情况，CAPM认为投资人会要去额外收益来补偿由于和市场收益风险的相关性而带来的风险，而对其他的风险并不要求补偿。与股票市场收益相关的风险通常被称为系统风险（systematic risk），而其他的风险被称为非系统风险（nonsystematic risk）。如果CAPM正确，那么对变化与市场收益之间的相关系数成比例。当与市场收益不相关时，为零。
28.3 鞅

鞅是一个没有漂移的随机过程。如果一个变量的过程具有以下形式

那么该变量就是一个鞅，其中是一个维纳过程。变量本身也可以是随机的，它可以依赖于和其他的随机变量。鞅具有一个很方便的性质：它在将来任何时间的期望值都等于它今天的取值。这意味着

这里和分别表示在时间0和T的取值。为了理解这个结果，我们注意在一个很小的时间区间上的变化服从均值为0的正态分布，因而在一个很小的时间区间上变化的期望值是零。在时间0与T之间的变化是由它在许多很小时间区间上变化的和所组成的，因此在时间0和T之间变化的期望值必须为零。
等价鞅测度结果

假设f和g是两个只依赖于一个不确定因素的可交易证券的价格。我们假设这些证券在我们考虑的时间区间内不提供任何收入。定义。变量是f关于g的相对价格。这可以理解成将f的价格基于g（而不是美元）来做单位。证券价格g称为计价单位（numeraire）。
关于等价鞅测度（equivalent martingale measure）的结果说明了在没有套利机会时，对于某个风险市场价格的选择，是鞅。不但如此，对于一个给定的计价单位证券g，在同一个风险市场价格的选择下，所有证券价格f都会使称为鞅，而且所选择的风险市场价格正好是g的波动率。换句话说，当风险市场价格等于g的波动率时，对所有的证券价格f，比值都是鞅（注意风险的市场价格与波动率具有同样的维数，即两变量均为“每平方根时间”，因此将风险的市场价格选择为波动率是可以的）。
我们假设f和g的波动率分别为和。当一个世界里的风险市场价格是时，我们可以得到

利用伊藤引理，可以得到

于是

即

利用伊藤引理，可以从得出

这说明是个鞅，从而证明了等价鞅测度结果。我们把以g的波动率作为风险市场价格的世界叫作以g作为计价单位的远期风险中性（forward risk neutral）世界。
由于在一个关于g为远期风险中性的世界里是个鞅，我们有

即

其中表示在一个关于g为远期中性世界里的期望。
28.4 计价单位的其他选择

28.4.1 货币市场账户作为计价单位

美元货币市场账户是一种证券，它在时间零的价值是1美元，并且在任何时刻都挣取瞬时无风险利率r。变量r可以是随机的。如果我们令g表示货币市场账户，那么它以r的速度增长，于是

g的漂移项是随机的，但它的波动率是零。我们知道在风险市场价格为零的世界里是鞅，这正是我们以前定义的传统风险中性世界。可以得到

其中表示在传统风险中性世界里的期望。
在这种情况下，，以及

于是

或

其中是r在时间0和T之间的平均值。这个方程给出了一种对利率衍生产品定价的方法，即在传统风险中性世界里对短期利率r进行模拟，在每一个实验里我们可以计算收益，并用短期利率r在模拟样本路径上的平均值来进行贴现。
当我们假设短期利率r是常数时，

这正是我们在以前建立的风险中性定价关系。
28.4.2 零息债券价格作为计价单位

定义一个在时间T、收益为1美元的零息债券在时间t的价格为，我们现在探讨当取g为时会意味着什么。我们用表示在一个对为远期风险中性世界里的期望。由于和，

在美元货币市场账户里，贴现是取在期望算子的里面，而在上式里，贴现是由来表示，而且是取在期望算子的外面。当我们利用关于为远期风险中性的世界时，对一个仅在时间T有收益的证券定价时可以简化许多。
考虑任意变量。上的一个到期日为T的远期合约是一个在时间T收益为的合约，这里是在时间T的值，我们用f表示这个远期合约的价值。我们有

的远期价格F是使得等于零的K值。这样我们有

或

上式表明，在一个对于为远期风险中性的世界里任何变量（利率除外）的远期价格都等于它未来即期价格的期望值。注意远期价格与期货价格的区别，我们曾证明了在一个传统风险世界里，一个变量的期货价格等于它在将来时间即期价格的期望。
我们可以这样对一个在时间T提供收益的证券定价：首先在一个对于在时间T到期的债券价格为风险中性的世界里计算收益的期望值，然后以在时间T到期的无风险利率进行贴现。上式说明在计算收益期望时，可以假定标的变量的期望值等于其远期价格。
28.4.3 零息债券作为计价单位时的利率

我们定义为在时间t所观察到的介于T与之间的远期利率，它的复利区间是（比如，如果，利率为半年复利一次）。对一个在时间T和之间的零息债券，它在时间t所观察到的远期价格是

因为远期利率是相应债券的远期价格所隐含的利率，也就是说

于是

或

如果我们令

和，那么等价鞅测度结果说明在一个关于为风险中性的世界里是个鞅。这意味着

其中表示在关于为风险中性世界里的期望。
变量是在时间0所观察的用于时间T和之间的远期利率，而是时间T和之间所实现的利率，因此上式表明在一个对期限为的零息债券为风险中性世界里，远期利率等于在将来时刻利率的期望。这个结论对关于利率上限的讨论将会提供很大帮助。
28.4.4 年金因子作为计价单位

我们考虑一个从时间T考试的利率互换，它的付款时间在。定义，假设这个互换的本金是1美元，在时间的远期互换率（使得互换合同价值为零的定息方利率）为。互换合同对于支付固定利率的价值为

其中

假设我们用的是LIBOR利率贴现。当给最后一个互换日期的支付双方都加上本金时，互换合同的浮动利息方在合同开始时的价值等于它的本金（这是因为浮动利息方式LIBOR浮动利息债券，贴现用的也是LIBOR。这种处理方式是以债券的形式对互换定价所用的）。这说明了如果我们在时间对浮息方加上1美元，那么它在时间的值是1美元。时间时的1美元在时间t的价值是，而在时间的1美元在时间t的价值是。因此，浮息方的价值在时间t为

令定息方和浮息方的价值相等，我们得到

或

令，，利用等价鞅测度结果我们可以得到

其中表示在关于为远期风险中性世界里的期望。因此，在一个关于为远期风险中性的世界里，未来互换率的期望值等于目前的互换率。
对于任何一个证券f，说明

这个结果和上式一起将为我们在推导欧式利率互换期权标准市场模型起关键作用。我们将会看到，这个结果也可以推广到衣OIS贴现的情形。
28.5 多个因子情形下的推广

加入有n个独立因子，而f和g在传统风险中性世界里服从的过程是

和

其他内在一致的风险中性世界可由以下方程定义

和

其中是n个风险市场价格，现实世界可以看成是这些世界中的一个特例。
我们把在的特殊情况称为关于g为远期风险中性的世界。由于之间都是不相关的，利用伊藤引理，我们可以证明服从过程的漂移项为零。上两节中其他的结果也都仍然成立。
28.6 改进布莱克模型

考虑一个标的资产上执行价格为K期限为T的欧式看涨期权，这个看涨期权的价格为

其中是标的资产在时间T的价格，表示一个关于为远期风险中性世界里的期望。定义和分别为在T时刻到期的远期合约在0时刻和T时刻的远期价格，因为，

假设在所考虑的世界里是对数正态，而且的标准方差等于，这是因为远期价格所服从随机过程中的波动率为。证明了

其中

由，我们得出，因此

其中

类似地

其中，p是执行价格为K、期限为T的欧式看跌期权的价格。以上模型正式布莱克模型。
当利率为随机变量时，这一模型对投资资产与消费资产均适用，其中为资产的远期价格，变量可以被解释为远期资产价格的波动率（常数）。
28.7 资产交换期权

考虑将一个价值为U的投资资产转换成一个价值为V的投资资产的期权。假设U和V的波动率分别为和，它们之间的先关系数是。
首先假定这两个资产不提供收入。将计价单位g选成U，而且令，我们有

其中表示在一个关于U为远期风险中性世界里的期望值。
令f为所考虑的期权，即资产交换期权的价值。于是，这样会得到

即

而的波动率满足

可以写成

其中

我们得到

这就是在资产不提供收入的情况下将一个资产交换成另一个资产的期权价格。
当f和g以和的速度提供票息时，

因此

和

所以

而和则被重新定义成

这是关于资产交换期权的结果。
28.8 计价单位变换

考虑计价单位的变换对一个市场变量所服从随机过程的影响。首先假定市场变量是一个可交易证券的价格f。如果在一个世界里的风险市场价格为，我们将有

与此类似，当风险市场价格为时

从这里我们可以看到，从第一个世界转换到第二个世界将会使一个可交换证券f的增长率期望增加

我们考虑一个不可交易证券价格的变量v。对于风险市场价格的变化，证明了v增长率期望的变化与可交易证券价格增长率的变化是一样的，增长量为

其中为v波动率的第i个成分。
当我们从一个计价单位g变化成另一个计价单位h时，和。定义和w波动率的第i个成分为。由伊藤引理，我们得出

于是

我们把w称为计价单位比率（numeraire ratio）。上式等价于

其中为v的总波动率，为w的总波动率，为v和w之间的瞬时相关系数。
当从一个计价单位转换成另外一个计价单位时，一个变量v的增长率将会增加，而增加的幅度是v百分比变化和计价单位比率百分比变化的瞬时协方差。我们将把这个结果用在对时间调整和Quanto调整的问题上。
一个特殊情形是从现实世界转换成传统风险中性世界（这时所有的风险市场价格均为零）。可知v的增长率变化为。这对应于当v是可交易证券价格时的结果。我们还证明了当v不是可交易证券价格时这个结论也是成立的。一般来讲，将一个不是可交易证券价格的变量从一个世界转换到另一个世界与可交易证券价格的情形是相同的。

赫尔《期权、期货及其他衍生产品》笔记 第28章 鞅与测度

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