随机过程在金融中都有哪些应用实例？

BSM模型

BSM的假设

期权估值模型的关键假设是如何对标的工具的随机性进行建模。资产随机演变的这种特征被称为随机过程。许多金融工具享有有限责任，工具的值大于等于零。

正态分布的主要优点是
- 零是可能的，这意味着允许破产
- 它是对称的，相对容易操纵
- 它是可加的，正态分布的加和也是正态分布的
正态分布的主要缺点是
- 股票负价值在理论上是可能的，违背了股权的有限责任原则

人们倾向于采用对数正态分布，即对数收益正态分布。BSM选择了对数正态分布。
无套利方法需要自我融资和动态复制。标的工具的最终分布需要的不仅仅是一个假设。需要对工具的价值进行建模，随着时间的推移，这就是随机过程。BSM所选择的随机过程称为几何布朗运动(GBM)。
如下图所示，假设初始股价为S = 50，假设股票将增长3% (μ = 3%每年，几何复利率)。这种GBM过程也反映了由45%的波动率(σ)决定的随机成分。这种波动率是标的资产持续复合百分比变化的年化标准差，或者换句话说，对数回报。当特定的样本路径向上漂移时，在绝对基础上观察到更多的可变性，而当特定的样本路径向下漂移时，在绝对基础上观察到更少的可变性。例如，下图所示的最高和最低行。最高的线比最低的线更不稳定。价格为100的股票10%的波动是10，而价格为10的股票10%的波动只有1。因此，GBM永远不会达到零，也不会低于零。这一特性之所以具有吸引力，是因为许多金融工具享有有限责任，而不可能是负的。最后，要注意的是，尽管股票波动相当不稳定，但没有大幅上涨，这是可销售金融工具的一个共同特征。

在BSM模型框架内，假设所有投资者都同意GBM的分布特征，除了假设的基础增长率。这一增长率取决于许多因素，包括其他工具和时间。标准的BSM模型假设一个恒定的增长率和恒定的波动率。BSM模型的具体假设如下：

潜在的投资遵循几何布朗运动 → 持续的复利回报是正态分布的
几何布朗运动 → 价格连续 → 标的工具的价格不会从一个价值跳到另一个价值，而是平稳转移
标的工具具有流动性 → 很容易买卖
连续交易是可行的 → 能够在每一个时刻进行交易
允许充分利用所得资金卖空标的工具
无交易成本、监管约束或税收等市场摩擦
市场上没有套利机会
期权是欧式的 → 不允许提前行使
连续复利无风险利率已知且为常数；借贷允许在无风险利率下进行
标的回报率的波动性是已知且恒定的
如果标的工具支付收益，它被表示为连续、已知、不变的年化收益率

当然，上述假设并不完全符合真实的金融市场。
BSM的组成

BSM模型是离散时间二项式模型的连续时间版本。由于BSM模型是基于连续时间的，因此习惯上使用连续复利而不是离散复利。当这里使用一个利率时，仅指年化的连续复利。波动率也用年化百分比表示。股票的BSM模型可以表示为：

...... (10)
...... (11)

为标准正态累积分布函数，即基于标准正态分布得到一个小于的值的概率。在这里，等于或。反映了从标准正态分布的随机观察样本中观察值小于的可能性。
尽管BSM模型看起来非常复杂，但它有一些直接的解释。可以通过计算机估计出来，也可以通过查找表估计出来。正态分布是一个具有两个参数的对称分布，即均值和标准差。标准正态分布是均值为0标准差为1的正态分布。
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