作者是布里斯托大学量子混沌领域博士
Black-Scholes-Merton（BSM模型）特性：合约标的价格漂移项可以对冲；合约标的价格变化的波动无法对冲；是选择交易机会的，而不是控制风险的。
假设：delta中性组合，1看涨期权+delta份股票空头
（delta=期权价格对标的价格的偏微分，可表示总的方向性风险敞口，即总的微分；delta对冲：合约标的价格上涨，看涨期权价值增加，可用一定比例的合约标的抵消期权的方向性风险）
注：看涨期权价值永远不会比合约标的价格高；期权价值随时间下降（theta效应）；利率上升期权价值下降，因为需要融资来买入期权的成本增加（持有已对冲的期权多头组合=借出资金）；股息发放降低股票价格，增加看跌期权价值；投资组合价值变化的gamma效应：gamma>0，持有期权盈利，利润=0.5股价变化；Vega：衡量期权价值对合约标的价格波动率的敏感程度（Vega利润=不断对冲delta盈利之和）
假设资产价格连续性是不对的->directional dependence方向依赖
波动率微笑：隐含波动率是在错误的公式里输入错误数字，导致的行权价的函数。
度量波动率和收益率
【隐含波动率=决定期权市场价格，实现波动率=合约标的波动情况估计，考虑两者价差。隐含波动率变化比实现波动率慢，因此要考虑期限结构和行权价结构。重要的隐含波动率是平值波动率。大部分隐含波动率变化是波动率水平移动引起的。隐含波动率曲线的斜率和曲率波动性逐渐变小，重要性也变小。】
思想：采取调整和模糊处理，将事实融入BSM公式估计波动率：（Cont2001：事实：1）波动率不是常数，是均值回复、聚集（=正自相关Mandelbrot1963：明天波动率估计值=今天波动率：虽然波动率在朝均值往复，但均值的当前值却经常不明显，短期波动围绕缓慢变化的均值摆动；注意：成熟市场聚集比新兴市场明显；聚集在熊市明显，自相关性在熊市、大恐慌衰减的快）、长记忆性；2）大收益率频繁，地震后还有余震；3）波动率与收益率负相关（非对称：股票市场负收益->波动率上升）；4）波动率~成交量；5）收益率分布：对数正态、厚尾；波动率：对数正态）
1、对波动率点估计+区间估计（波动率锥volatility cones的构建）注：瞬时波动率无法观测，需要时间检验，≠估计价格
收盘价-收盘价估计量：偏差易纠正，没有充分利用数据信息，收敛速度慢。Parkinson1980估计量：使用日内极差估计波动率很合理，且相对于收盘价更全面。但只适用于几何布朗运动过程的波动率估计，不能处理趋势和跳空，且系统性地低估波动率。Garman-Klass估计量：偏差比Parkinson大，效率高。Rogers-Satchell估计量：允许趋势存在，同样无法处理跳空。Yang-Zhang估计量：最小估计误差，能处理漂移项和跳空，最有效。但如果价格过程由跳空主导，性能会降低到和收盘价-收盘价估计量。初次退出时间估计量：需要使用高频（min）实时数据，收敛快（避免久远无关数据）：Ait-Sahalia, Mykland&Zhang2005：存在微观结构噪声时找到最优抽样频率{论文技术高超}。注意：1）对待市场的微观结构的问题（价格跳跃影响价格，但对长期波动率没啥影响）；2）抽样频率选择：预测市场（Gatheral模型）
如何计算隔夜收益率？1、忽略隔夜收益率，仅使用日内收益率估计波动率（公司公布业绩时忽略价格跳空类似），缺点：隔夜收益率与日内收益率真实存在且显著；2、高频序列中将隔夜收益率与其他收益率同等对待。
长期平均波动率：整合波动率integrated volatility：在长期，快速的日内周期会被平均掉；在短期，波动率预测误差是因为路径依赖。
可以把期权和信用产品一起交易，构造一个资本结构套利，或将个股期权与股指期权一起交易，得到关于隐含相关性的头寸。波动率在大幅变化中，向上变化多于向下变化。
2、移动窗口的缺点：股票价格大幅波动会在波动率序列保留N天后突然消失。价格向上跳空后，可使用EWMA加权移动平均模型（凭直觉确定平滑参数lamda），但最好自己判断是不是异常事件并剔除或给权重；忽视了均值回复特性-->GARCH(p,q)广义自回归条件异方差：引入长期平均方差项，短期内保持高/低位，长期回到均值；过去p期收益率和过去q期方差，通过迭代退出波动率的预期期限结构；缺点：只能得到以指数形式收敛至长期均值的期限结构，不能得到真实有峰的波动率期限结构（若2个月期限的波动率比1和3个月期限波动率都高，则GARCH不适用期权市场）。对于GARCH(1,1)，对数似然函数平坦，拟合困难，可用variance targeting解决，即把omega项设定成样本无条件方差与1-alpha-beta的积，在拟合时仅改变alpha, beta。GARCH缺点：1、至少1000个数据点；参数初始值设的不好；存在季节性。-->修正版1、EGARCH（Nelson1991）指数GARCH，对对数方差建模，能处理非对称情况，负面和正面冲击对股价影响不同。2、GJR-GARCH（Glosten, Jagannathan, Runkle1993）附加项来体现向下冲击。3、IGARCH：整合GARCH，加约束alpha+beta=1。4、TGARCH：门限GARCH，附加项体现负冲击，非对称。5、AGARCH：绝对值GARCH，直接对波动率而不是方差建模。6、CGARCH：成分GARCH（Engle&Lee1999,Ding&Granger1996）：将方差视为多个波动过程或成分之和建模：一个过程捕捉冲击的短期影响，另一个捕捉长期影响，这样模型就有长记忆性。
极大似然估计MLE：选一个参数使最终观察到的样本出现的概率最大。GARCH能捕获方差随时间变化的因素，也能满足市场微观结构（Takayasu,Sato2002），但是GARCH类模型没有哪个优于另一个，如果用MLE估计参数，隔一段时间再估计，得到参数估计值不稳定，故GARCH对市场描述不准确。
3、波动率点估计（GARCH）->波动率区间和分布估计（波动率锥：Burghart&Lane1990：在不同交易区间内波动率区间如何变化）原因：1、大波动在长时间被平滑掉；2、抽样误差会影响短期波动率度量；3、获得价格序列更多信息需要重复数据（乘调整系数->滚动窗口估计波动率）
基本面信息：Sridharan2012：市场低估波动率：高研发费用、高现金流波动率、业绩管理；高估波动率：大公司、资产收益率高、高杠杆（提高杠杆=债券市场认同）。
隐含波动率>预测波动率：BSM隐含波动率上偏，因为：1、卖出隐含波动率=卖保险，有风险溢价；2、从未发生过的事未来就可能发生，历史数据不包含的东西；3、市场微观结构使隐含波动率上升，因为做市商利润来自价差，他会把报价提高来保护业务=购买保险：保持波动率多头（向下）敞口。
>Bakshi&Madan2006：风险中性波动率和physical volatility实体波动率的差异与高阶收益率矩有关。若交易风险厌恶，则预期波动率价差>0，分布负偏厚尾。价差在高阶矩变得宽，因为所有期权都暴露在该实体分布physical distribution的全部矩中。矛盾：价差在波动率指数vix上涨时变窄，因为高VIX是风险厌恶的，波动率高时，预期均值回复成为主导效应，驱动价差变小。对于头寸交易员：市场背景调整后的波动率锥可检测波动率变化而不用时时做市，可等到波动率达到高位再建仓（不要急于减少头寸，也没必要时刻保持仓位）。
VIX指数特点：1、20~40：值较高且不稳定（值越大，波动幅度越大）；10~20：较平稳；2、向上大幅变动次数>向下大幅变动；3、均值回复（则简单布林通道即可赚钱）。
构建指数：http://www.ivolatility.com
关于信息：
（1）盈余公告公布前（越近越好）卖出当月跨式价差组合，公布后的收盘时买下（由于高分散程度对盈余公告的分歧=高隐含波动率）。该策略缺点：高市盈率股票表现不好（He,Lee,Wei2010：成长股和价值股对盈余公告反应不同）不过也不是太显著。
（2）大宗商品隐含波动率在库存货作物收成报告发布前上升：Carr期货公司Panos1997：每个失业数据公告周（周五开盘前）的周一以收盘价购买delta中性的跨式价差组合并在周四收盘价卖出可获利9个点（6.53%）。
4、隐含波动率微笑
黏性（黏性即不相关）行权价规律（价格变，行权价波动率不变==fixed skew固定偏度）+黏性delta规律（delta期权保持同样波动率，波动率微笑随合约价格一起变==floating/swimming skew漂浮偏度）Derman1999：价格在区间震荡：黏性行权价规律√；市场趋势变化：黏性delta规律√（每种规律只在一段时间内有效）。
策略：考虑动态对冲、delta中性和风险逆转头寸：卖出虚值看跌，买入虚值看涨，黏性delta，价格上涨->两个期权隐含波动率都上升，看涨期权更接近平值，Vega比看跌期权大->看跌期权价值上涨幅度>看跌期权下跌幅度，该组合盈利。价格下跌，波动率上升，平值期权隐含波动率上升，而黏性delta却让隐含波动率不变-->让波动率曲线沿一个支柱或路径（行权价的减函数，斜率=历史变化与历史收益率回归估计）浮动（这方法也一般般）。黏性delta->修正BSM，确保方向中性。
波动率微笑
隐含波动率曲线会基本保持一个特定形状（Hafner&Wallmeier,2000, Cont&da Fonseca2002）
交易成本小，则微笑可以赚钱（Goncalves&Guidolin2005,
Jha&Kalimipalli2006），对撮合的交易却不用承担全部价差的做市商而言也可以赚钱。波动率微笑->偏度（比率价差&风险逆转）+峰度（蝶式价差&鹰式价差）相分离的策略。
原因：1、很多人做多，喜欢下侧保护；2、权益类产品：多头倾向于卖出与多头头寸相反的看涨期权；3、权益类证券：行权价高的期权相对于平值期权存在溢价=预示公司可能被收购；4、若客户买看涨卖看跌，做市商则卖看跌买看涨，客户不对冲头寸（期权已经是对冲工具），但做市商会动态对冲：【波动率微笑是对“波动率水平取决于合约标的价格水平”这一自我实现过程的预言】；5、权益类产品：指数的偏度>成分股的偏度。让指数的波动率上涨：成分股波动率上涨/成分股之间的相关系数变大->所以指数的隐含波动率包括了隐含相关性的作用：指数所有成分股的波动率曲面都是平的，只要相关性随着资产价格变化上升，指数波动率曲面就微笑（而市场都谔谔地以为相关性会随着崩盘而上升）；6、合约标的的真实收益率均不服从正态分布，收益率分布受偏度和峰度影响。
注：正态分布峰度=3，峰度>3：leptokurtic尖峰（金融都是尖峰），峰度<3：platykurtic低峰（Excel：KURT超额峰度）Jarrow&Rudd1982用对数正态分布估计价格，缺点：价格分布的高阶矩对不同到期日不稳定，需要跟踪随时间变化的参数。
-->Corrado&Su1996对收益率分布Gram-Charlier展开：参数不随时间变化（除非分布变了，略去奇怪公式嘤嘤嘤）假设参数完全隐含（只在期权市场有意义，和收益率分布无关），用市场价格倒推期权价格参数（不对每个行权价都计算隐含波动率，而是从给定期限的所有期权价格中得到隐含波动率、偏度峰度-->参数数量从N个变成3个）。计算隐含偏度峰度，最小化期权市场报价和公式价格之差的平方估计参数。
优点：【波动率->峰度偏度的扩展】1、研究峰度偏度->记录交易参数，范围和值，用峰度偏度构造期限结构；2、比较隐含矩和已实现矩之差，构造偏度、峰度锥。注意：1、Corrado-Su公式的波动率不是平值隐含波动率；2、交易员倾向于认为偏度=隐含波动率与行权价函数的线性斜率，但是是上凸的；3、注意：峰度也不与平值波动率对称，极小值靠左；4、高阶矩读隐含波动率的影响是交织的，曲线形状改变不能归因于偏度峰度；5、Corrado-Su只能用于欧式期权定价，不过只要构造树，加入美式的边界条件，即可变成美式期权了：Rubinstein1998：从Edgeworth展开式入手，Edgeworth和Gram-Charlier树的代码见Haug2007.
5、期限结构动态变化
做市商关系存续期短的期权的指令流和风险，而隐含波动率期限结构的错误反应是：远月合约会过度反应：隐含波动率变化幅度>理性预期模型（Stein1989：预测项存在系统偏差，假设瞬时波动率服从AR（1）过程，近月与远月波动率相关比例高）。
隐含波动率均值回复。同一产品，隐含波动率曲线形状趋于稳定；不同产品，引起波动率微笑的原因不同。Corrado-Su将银行偏度和银行峰度放到和隐含波动率一样的层面研究。 |
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