CFA2级读书B34：或有债权估值

1. 无套利估值方法

或有债权是一种衍生工具，它向其所有者提供一种权利，而不是义务，以获得由标的资产、利率或其他衍生工具决定的偿付。期权价值通常使用估值模型来获得。任何财务估值模型都需要一定的输入，并将它们转换成一个公允价值或价格。期权估值模型和远期、期货和互换市场的同类模型一样，是基于无套利原则的，这意味着期权的合适价格是不可能让任何一方在损害其他一方的情况下获得套利利润的价格。排除套利利润的价格就是期权的价值。
无套利估值方法是建立在一价定律之上：如果两项投资具有相同的未来现金流，那么这两项投资应该具有相同的当前价格。建立这些期权估值标的过程中做了以下几个关键假设：

复制型金融工具具有可识别性和可投资性
不存在交易成本、税收等市场摩擦
允许充分利用收益进行卖空
标的工具遵循已知的统计分布
实行无风险利率借贷

二项式模型广泛用于估值路径相关的期权，这些期权的价值不仅取决于到期时的标的价值，还取决于它是如何到达那里的。BSM模型只对路径无关的期权进行估值，比如欧洲期权，这些期权只依赖于它们各自的标的期权在到期日的价值。一种路径相关期权是美式期权，也就是那些可以在到期前执行的期权。
二项期权估值模型建立在无套利估值方法的标的上。因此，如果能理解套利者如何接近金融市场，就能更好地理解期权的价值。套利者从事金融交易是为了追求最初的正现金流，而不可能在未来出现负现金流。
要理解期权估值模型，像套利者一样思考是有帮助的。套利者寻求利用期权价格和标的现货价格之间的任何定价差异。假设其他一切都是一样的，套利者被认为更喜欢钱多而不是钱少。套利者有两个基本规则：

不要用你自己的钱。套利者不会用他或她自己的钱来获得头寸。此外，套利者不会将卖空交易的收益花在与手头交易无关的活动上
不要承担任何价格风险。这里的重点只是与标的和衍生品相关的市场价格风险。不考虑其他风险，如流动性风险和交易对手信用风险

在开发期权估值模型时，严重依赖这两条规则。两个关键日期分别是期权合约的起始日期(时间0)和期权合约的到期日(时间T)。基于无套利方法，将用一个期权估值模型来估计从起始日期开始的期权价值。
设表示时间时的标的工具价格。同样，表示期权到期日时观察到的标的工具价格。设表示时间、到期日的欧式看涨期权价格，其中和均以年表示。令表示美式看涨期权价格。在起始日期，下标被省略，因此。表示行权价。在到期时，调用值和卖出值将等于它们的内在值或执行值。这些行权价可以表示为：

如果期权价值偏离这些表达式，那么就会出现套利利润。期权即将到期，不存在任何不确定性，价格必须等于行使期权或让期权到期所获得的市场价值。
欧式期权在到期日之前没有行权值，因为它们在到期日之前不能执行。尽管如此，如果期权可以被执行，其价值的概念，看涨期权的和看跌期权的，构成了理解期权价值随时间推移而下降这一概念的基础。具体来说，期权价值包含了时间价值，时间价值是指相对于较低的行权价值而言，较高的行权价值潜力的市场估值。由于期权到期支付的不对称性，期权的时间价值总是非负的。例如，对于一个看涨，上行是无限的，而下行是限制为零。在到期时，时间价值为零。
虽然期权价格受到多种因素的影响，但标的工具的影响尤为显著。此时，假定标的是影响期权价格的唯一不确定因素。
2. 一步二叉树

定价为的资产的单周期二项式过程。在二叉树图中，每个节点(node)代表二项式格中特定时间点的特定结果。在时间0节点，在二项式过程中只有两个可能的未来路径，一个向上移动和一个向下移动，称为弧(arc)。对于每个节点的潜在价格，在时间1，只有两种可能的结果：表示标的资产上升时的结果，表示标的资产下降时的结果。向上因子(up factor)和向下因子(down factor)分别为：

；

向上因子和向下因子是总收益；也就是1加上收益率。涨跌因子的大小取决于标的波动性。一般来说，较高的波动性会导致较高的上值和较低的下值。变式可得：

考虑两期看涨期权价值的公允价值，在时间1发生上涨时的价值为，其表达式为：

类似可得：

则期权到期时的价值是：

，或

假设拥有标的工具没有成本或收益。现在考虑下面中所示的交易，以现金流量的形式表示：

策略：① 发行一个看涨；② 买入个标的单位；③ 借或贷；
→ 净现金流NCF（前三项之和）
时间0：① ；② ；③ ；
→
时间1若下行：① ；② ；③ ；→ NCF = 0
时间1若上行：① ；② ；③ ；→ NCF = 0

因此，如果发行看涨期权，在时间步骤0收到钱，可能必须在时间步骤1支付钱。假设第一笔交易是在单周期二项式模型中卖出或卖出一个看涨期权。看涨期权的价值与标的价值正相关。也就是说，它们同时向上或向下移动。因此，通过卖出看涨期权，如果标的价格上涨，交易者就会赔钱，如果标的价格下跌，交易者就会赚钱。因此，要执行对冲交易，交易者需要在标的价格上涨时能够赚钱的头寸。因此，第二笔交易需要是基本面的多头头寸。交易员购买一定数量的标的。符号代表对冲比率。
注意，对于前两个交易，两个套利规则都不满足。未来的现金流可以是或，也可以是正的或负的。因此，在时间步骤1的现金流可能导致套利者不得不支付钱，如果其中一个值小于零。为了解决这两个问题，设置时间步骤1的现金流彼此相等，即，并求出适当的套期保值比率：

...... (1)

决定对冲比率，这样就不受潜在资产的涨跌影响。因此，对标的资产的变动进行了对冲。分子和分母中的向上和向下模式是相同的，但是分子包含期权，分母包含标的。
由于看涨期权价格与标的价格的变化正相关，是非负的。购买第二笔交易中描述的单位，为第三笔交易中描述的净现金流的现值融资。假设表示每一时期的无风险利率，则现值计算，需要借入或出借的金额使未来净现金流等于零。因此，今天融资的是的现值它也等于。是借还是贷取决于、、。
在时间步骤0时，净投资组合的价值应该是0，否则存在套利机会。如果净投资组合的价值是正的，那么套利者就会采用这种策略，这将压低看涨期权价格，抬高标的价格，直到净投资组合不再为正。假设借款的规模不会影响利率。如果净投资组合的价值为负值，那么套利者将采取相反的策略买入看涨期权，卖空标的股票，并借出看涨期权，推高标的价格，压低标的价格，直到时间0时的净现金流不再为正。因此，无套利方法得到以下单期看涨期权估值方程：

，或
...... (2) （无套利单期看涨期权估值模型）

多头看涨期权等于拥有股部分融资的股票，其中融资金额为，或者使用每一时期的利率。
（Buy h units of the underlying and financing of ）
因此，无套利方法是一种复制策略：看涨期权与标的和融资综合复制。采用类似看跌期权的策略，有：

，或
...... (3) （无套利单期看跌期权估值方程）

其中：

因为，对冲率是负的。为了复制多头看跌头寸，套利者将卖空标的，并出借一部分收益。注意，一个多头看跌头寸将被标的单位的交易复制。当为负值时，此交易为卖空，因为为正，值导致时间步骤0的现金流为正。
（Short sell –h units of the underlying and financing of ）
目前为止展示的是无套利方法。在转向期望方法之前，为了完整性起见，我们提到，为了复制出售期权的收益而进行的交易与购买期权的交易是相反的。因此，在卖出看涨期权时，发行人将卖空股票并获得投资收益(即贷款)，而在卖出看跌期权时，发行人将通过保证金购买股票(即借款)。我们看到了一个强有力的结果：无论是买入还是卖出，看跌期权和买入期权都使用了相同的基本概念结构。只有演习和到期条件不同。
无套利结果可以表示为期权收益的唯一期望的现值。具体来说，期望方法(expectations approach)会得到与无套利方法相同的值，但它通常更容易计算。公式如下：

...... (5)
...... (6)

其中，向上移动的概率为：

终值是现值的倒数，。因此，如果，那么。因此：

预期的终止期权收益可以表示为：

其中和是时间1的期权值。现值和终值的计算是基于无风险率。因此，基于期望方法的期权价值可记为：

合并以上各式可得：

期权估值的预期法与证券估值的现金流折现法有两大不同之处：

这种预期不是基于投资者对标的未来走向的信念。也就是说，是客观确定的，而不是投资者个人的观点。这个概率也称风险中性(RN)概率。没有对套利者的风险偏好做任何假设：预期方法是套利过程的结果，而不是对风险偏好的假设。因此，它们被称为风险中性概率，但并不是上下移动的真实概率
贴现率没有风险调整。贴现率只是基于估计的无风险利率。这里的预期法通常被认为优于折现现金流法，因为主观的未来预期和主观的风险调整折现率都被更客观的衡量方法所取代

看跌期权的价值也可以根据看跌期权平价来确定。看跌期权平价可以简单地记作投资组合保险的两个版本，即股票多头和看跌期权多头，或者出借期权和看涨期权，看跌期权和看涨期权的行权价格是相同的：

...... (7)

例1：A non-dividend-paying stock is currently trading at 100. A call option has one year to mature, the periodically compounded risk-free interest rate is 5.15%, and the exercise price is 100. Assume a single-period binomial option valuation model, where u = 1.35 and d = 0.74.
(1) The optimal hedge ratio will be closest to:

A. 0.57.
B. 0.60.
C. 0.65.

解析：选A。

= 1.35(100) = 135
= 0.74(100) = 74
= Max(0, 135 - 100) = 35
= Max(0, 74 - 100) = 0
= (35 - 0) / (135 - 74) = 0.573770

(2) The call option value will be closest to:

A. 13.
B. 15.
C. 17.

解析：选C。

π = [(1 + r) - d] / (u - d) = (1.0515 - 0.74) / (1.35 - 0.74) = 0.51
= 0.51 * 35 = 17.85
= 17.85 / 1.0515 = 16.9757

补充：若要用平价公式求解看跌期权价值，则 p = PV(X) + c - S = 100 / 1.0515 + 16.9757 - 100 = 12.077
期权价值可以用复制的投资组合来表示，也可以用预期未来现金流的现值来表示。两个表达式产生相同的估值。
3. 两步二叉树

3.1 欧式期权

两期二项期权估值模型说明了两个重要概念：

自筹资金(self-financing)：在这个动态再平衡的投资组合的生命周期内，复制型投资组合将不需要任何来自套利者的额外资金。如果需要额外的资金，则从外部融资
动态复制(dynamic replication)：期权的收益可以通过计划好的交易策略精确地复制出来。期权估值依赖于自我融资和动态复制

通式可以写作：

其中，可以由、、替换。类似得：

根据单周期的结果，可以得到两周期的表达式：

...... (8)
...... (9)

因此，两期二项式模型再次简单地表示基于风险中性概率的预期未来现金流量的现值。同样，期权价值也就是预期最终期权收益的现值。预期的终止期权收益可以表示为：

例2：You observe a 50 price for a non-dividend-paying stock. The call option has two years to mature, the periodically compounded risk-free interest rate is 5%, the exercise price is 50, u = 1.356, and d = 0.744. Assume the call option is European-style.
(1) The probability of an up move based on the risk-neutral probability is closest to:

A. 30%.
B. 40%.
C. 50%.

解析：选C。π =(1 + r - d) / (u - d) = (1.05 - 0.744) / (1.356 - 0.744) = 0.5
(2) The current call option value is closest to:

A. 9.53.
B. 9.71.
C. 9.87.

解析：选B。已知 S = 50，r = 0.05，X = 50，u = 1.356，d = 0.744

c(++) = 1.356 ^2 * 50 - 50 = 41.9368
c(+-) = 1.356 * 0.744 * 50 - 50 = 0.4432
c(--) = 0，因为 0.744 ^2 * 50 = 27.6768 < 50
c = (0.5^2 * 41.9368 + 2 * 0.5 * 0.5 * 0.4432) / (1.05^2) = 9.7104762

(3) The current put option value is closest to:

A. 5.06.
B. 5.33.
C. 5.94.

解析：选A。p = PV(X) + c - S = X / (1 + r)^2 + c - S = 50 / 1.05^2 + 9.71 - 50 = 5.0614739
3.2 美式期权

股票的非派息看涨期权不会提前执行，因为期权的最低价格超过了它的执行价值。考虑购买一只价值100美元的股票，行使价为10美元。假设该看涨期权的价值仅为90美元。要获得股票敞口，你可以投资并支付100美元购买股票，或只支付90美元购买看涨期权，并在到期日支付最后10美元，前提是当时股票的价格为100美元或以上。因为后一种选择更可取，所以买入期权的价值必须大于90美元的行使价值。另一种看待它的方式是，行使这个看涨期权是没有意义的，因为你不相信股票会再涨，因此你只是获得了一只你认为不会再涨的股票。此外，购买这只股票需要你支付比买入看涨期权多得多的资金。在这种情况下，卖出看涨期权总是更好的，因为它的交易价格将高于行使价。
对于看跌期权来说，情况并非如此。通过提早行使看跌期权，出售收益可以投资于无风险利率，并获得价值超过看跌期权时间价值的利息。当早期期权有价值时，无套利方法是评估美式期权价值的唯一方法。对于美式期权，如果行权价值，Max(0, X 该点的S)]，高于该点的看跌期权价值，那么行使期权比不行使期权更有价值。因此，应该在该点执行看跌期权。提前行权可以转化为更高的价值。
在多期环境下，美式看跌期权不能简单地以期权未来预期收益的现值来估值。美式看跌期权的价值可以用一个周期内期权预期未来支付的现值来计算。当考虑到提前行权时，必须回溯二叉树。
例3：Suppose you are given the following information: S0 = 26, X = 25, u = 1.466, d = 0.656, n = 2 (time steps), r = 2.05% (per period), and no dividends.

The early exercise premium of the above American-style put option is closest to:

A. 0.27.
B. 0.30.
C. 0.35.

解析：选A。对于17.056这个节点，行权价值 = 25 - 17.056 = 7.944 > 7.44360，因此这里需要提前行权。

π = (1 + r - d) / (u - d) = (1.0205 - 0.656) / (1.466 - 0.656) = 0.45。
新的 p = (0.45 * 0 + 0.55 * 7.944) / 1.0205 = 4.2814307，
旧的 p = (0.45 * 0 + 0.55 * 7.4436) / 1.0205 = 4.0117393，因此差额为0.27。
或者直接用 (1 - π) * (X - S - p) / (1 + r)。

3.3 股利的作用

股利支付在二项式模型中的作用。我们的方法被称为托管法(escrow method)。因为股息会降低股票的价值，看涨期权的持有者会受到伤害。虽然可以通过调整期权条款来抵消这种影响，但大多数期权合约并不提供对股息的保护。因此，股息影响期权的价值。假设股利是完全可预测的；因此，将标的工具分为两部分：不包含已知股息的标的工具和已知股息的标的工具。例如，不含股息的标的工具的当前价值可以表示为：

其中，表示股息支付的现值。符号表示无股利的标的工具。在这种情况下，基于而不是。在到期时，标的工具的价值是相同的，，因为假设红利已经支付了。然而，股票投资的价值将是，它假设股息支付以无风险利率进行再投资。
通过提前行使，看涨期权买方在股票即将除息之前获得股票，从而能够获得股息。如果看涨期权不被行使，看涨期权买方将不会收到该股息。美式看涨期权的价值高于欧式看涨期权，因为在第1步时，当出现上涨时，看涨期权会提前执行，从而获得额外的价值。
通过简单的两期二项式模型，期权可以被视为具有融资的标的头寸。此外，该估值模型可以表示为预期未来现金流量的现值，其中预期是在风险中性概率下进行的，贴现是在无风险率下进行的。
目前为止主要关注股票期权。二项式模型可适用于任何基本工具，但往往需要作一些修改。例如，货币期权将要求纳入外国利率。期货期权需要期货价格的二项式格。
4. 利率选择与多期模型

4.1 利率选择

假设每个节点向上移动的风险中性概率为50%。按年计算的两步二叉树：

上图给出了为期两年的利率和相应的零息债券价值的二项式格。利率用年复利表示。因此，在时间0时，即期汇率为(1.0/0.970446)1 = 3.04540%。在时间1处，标签为 Maturity 的列中的值反映的是到期限的时间，而不是日历时间。格子显示的是单周期债券的利率，所以所有债券的期限都是1。标有 Value 的一栏是根据所提供的利率，在规定期限内的零息债券的价值。
利率期权的基本工具是即期利率。当当前的即期利率高于执行利率时，看涨期权就会生效。当当前的即期利率低于行权利率时，看跌期权将成为货币。因此，当前的即期汇率被表示为。期权估值遵循上一节讨论的预期方法，但每次只采用一个时期。用一个实例说明了该过程。
假设寻求对一年期复利即期利率(标的利率)的两年期欧式看涨期权和看跌期权进行估值。假设期权的名义金额为1,000,000美元，看涨和看跌期权的执行率为面值的3.25%。假设风险中性概率为50%，根据观察到的利率，这些期权在时间2结算。在时间步骤2中有：

c(++) = Max(0,S(++) – X) = Max[0,0.039706 0.0325] = 0.007206
c(+–) = Max(0,S(+–) – X) = Max[0,0.032542 0.0325] = 0.000042
c(– –) = Max(0,S(– –) – X) = Max[0,0.022593 0.0325] = 0.0
p(++) = Max(0,X – S(++)) = Max[0,0.0325 0.039706] = 0.0
p(+–) = Max(0,X – S(+–)) = Max[0,0.0325 0.032542] = 0.0
p(– –) = Max(0,X – S(– –)) = Max[0,0.0325 0.022593] = 0.009907

时间第1步有：

c(+) = PV(1,2)[πc(++) + (1 π)c(+–)] = 0.962386[0.5(0.007206) + (1 0.5)0.000042] = 0.003488
c(–) = PV(1,2)[πc(+–) + (1 π)c(– –)] = 0.974627[0.5(0.000042) + (1 0.5)0.0] = 0.00002
p(+) = PV(1,2)[πp(++) + (1 π)p(+–)] = 0.962386[0.5(0.0) + (1 0.5)0.0] = 0.0
p(–) = PV(1,2)[πp(+–) + (1 π)p(– –)] = 0.974627[0.5(0.0) + (1 0.5)0.009907] = 0.004828

时间步骤1的(+)结果中折现了0.962386，在()结果中折现了0.974627。因为这是利率的一种期权，所以允许利率变化。在时间步骤0有：

c = PV(rf,0,1)[πc(+) + (1 π)c(–)] = 0.970446[0.5(0.003488) + (1 0.5)0.00002] = 0.00170216
p = PV(rf,0,1)[πp(+) + (1 π)p(–)] = 0.970446[0.5(0.0) + (1 0.5)0.004828] = 0.00234266

由于名义金额为1,000,000美元，因此看涨价值为1,702.16美元 [= US$1,000,000(0.00170216)]，期权价值为2,342.66美元 [= US$1,000,000(0.00234266)]。把两期二项模型看成三个一期二项模型。
4.2 多期模型

多时期二项式模型为BSM模型提供了一座天然桥梁。这个想法是将期权的到期日分割成越来越小的期限。两时期模型将到期分为两个时期。三时期模型将到期分为三个时期，以此类推。关键特征是每一个时间步长相等。因此，对于T的期限，如果有n个时间步长，则每个时间步长为T/n。
美式期权还必须在每个节点上测试该期权是否值得更多地执行。与两周期的情况一样，通过二叉树反向考察，根据行权值测试模型值，并总是选择较高的值。
二项模型是一种重要而有用的期权估值方法。预期方法可以应用于欧式期权，并将自然引向BSM模型。这种方法简单地将期权的价值定为预期未来收益的现值，其中预期是在风险中性概率下进行的，而贴现率是基于无风险率的。无套利方法既可以应用于欧式期权，也可以应用于美式期权，因为它可以直观地反映期权的公允价值。
5. BSM模型

5.1 BSM的假设

期权估值模型的关键假设是如何对标的工具的随机性进行建模。资产随机演变的这种特征被称为随机过程。许多金融工具享有有限责任，因此，工具的值不可能是负的，但可以是零。正态分布的主要优点是，零是可能的，这意味着允许破产，它是对称的，相对容易操纵，它是可加的，正态分布的和是正态分布的。其主要缺点是股票负价值在理论上是可能的，违背了股权的有限责任原则。人们倾向于采用对数正态分布，即对数收益正态分布。BSM选择了对数正态分布。
无套利方法需要自我融资和动态复制。标的工具的最终分布需要的不仅仅是一个假设。需要对工具的价值进行建模，随着时间的推移，这就是随机过程。BSM所选择的随机过程称为几何布朗运动(GBM)。
如下图所示，假设初始股价为S = 50，假设股票将增长3% (μ = 3%每年，几何复利率)。这种GBM过程也反映了由45%的波动率(σ)决定的随机成分。这种波动率是标的资产持续复合百分比变化的年化标准差，或者换句话说，对数回报。当特定的样本路径向上漂移时，在绝对基础上观察到更多的可变性，而当特定的样本路径向下漂移时，在绝对基础上观察到更少的可变性。例如，下图所示的最高和最低行。最高的线比最低的线更不稳定。价格为100的股票10%的波动是10，而价格为10的股票10%的波动只有1。因此，GBM永远不会达到零，也不会低于零。这一特性之所以具有吸引力，是因为许多金融工具享有有限责任，而不可能是负的。最后，要注意的是，尽管股票波动相当不稳定，但没有大幅上涨，这是可销售金融工具的一个共同特征。

在BSM模型框架内，假设所有投资者都同意GBM的分布特征，除了假设的基础增长率。这一增长率取决于许多因素，包括其他工具和时间。标准的BSM模型假设一个恒定的增长率和恒定的波动率。BSM模型的具体假设如下：

潜在的投资遵循几何布朗运动 → 持续的复利回报是正态分布的
几何布朗运动 → 价格连续 → 标的工具的价格不会从一个价值跳到另一个价值，而是平稳转移
标的工具具有流动性 → 很容易买卖
连续交易是可行的 → 能够在每一个时刻进行交易
允许充分利用所得资金卖空标的工具
无交易成本、监管约束或税收等市场摩擦
市场上没有套利机会
期权是欧式的 → 不允许提前行使
连续复利无风险利率已知且为常数；借贷允许在无风险利率下进行
标的回报率的波动性是已知且恒定的
如果标的工具支付收益，它被表示为连续、已知、不变的年化收益率

当然，上述假设并不完全符合真实的金融市场。
5.2 BSM的组成

BSM模型是离散时间二项式模型的连续时间版本。由于BSM模型是基于连续时间的，因此习惯上使用连续复利而不是离散复利。当这里使用一个利率时，仅指年化的连续复利。波动率也用年化百分比表示。股票的BSM模型可以表示为：

...... (10)
...... (11)

为标准正态累积分布函数，即基于标准正态分布得到一个小于的值的概率。在这里，等于或。反映了从标准正态分布的随机观察样本中观察值小于的可能性。
尽管BSM模型看起来非常复杂，但它有一些直接的解释。可以通过计算机估计出来，也可以通过查找表估计出来。正态分布是一个具有两个参数的对称分布，即均值和标准差。标准正态分布是均值为0标准差为1的正态分布。
下图展示了标准正态概率密度函数（标准钟形曲线）和累积分布函数，累积概率和范围为0到1。请注意，即使GBM是对数正态分布，BSM模型中的函数也基于标准正态分布。在下图中，如果x = 1.645，那么N(x) = N(1.645) = 0.05。因此，如果的模型值为1.645，则对应的概率为5%。显然，意味着的值小于0.5。由于正态分布的对称性，。

BSM模型可以描述为期权到期时的预期收益的现值。具体来说，可以将看涨的BSM模型表示为，看跌的BSM模型表示为，其中：

这里的现值项就是。今天的价值只是未来预期现金流的现值。预期是基于风险中性概率测度。这种预期并非基于投资者的主观信念，而这种信念反映了投资者对风险的厌恶。此外，现值函数是基于无风险利率，而不是投资者要求的投资资本回报，这当然是一个风险的函数。
或者，BSM模型可以被描述为具有两个组成部分：一个股票组成部分和一个债券组成部分。对于看涨期权，股票成分为，债券成分为。BSM模型的看涨价值是股票成分减去债券成分。对于看跌期权，股票成分为，债券成分为。BSM模型的看跌价值是债券成分减去股票成分。
BSM模型可以解释为股票和零息债券的动态管理投资组合。其目标是用股票和债券复制期权收益。对于看涨期权和看跌期权，复制策略的初始成本为，其中：

标的股票的等价数量：对于看涨是，对于看跌是
买入债券的等价数量：对于看涨是，对于看跌是

零息债券的价格是。注意，如果为正，买入标的，如果为负，卖出标的。投资组合的成本将完全等于BSM模型的投资价值或BSM模型的投资价值。
对于看涨期权，只是用借来的钱购买股票，因为和。这个投资组合的成本将等于BSM模型的看跌价值，如果适当地重新平衡，那么这个投资组合将复制看跌期权的收益。注意，看跌期权的空头头寸将导致今天收到资金，且且。因此，卖空看跌期权可以被视为一种过度杠杆化或过度杠杆化的股票头寸，因为借入的资金超过了标的成本的100%。
下面展示了无套利方法与单周期二项期权估值模型和BSM期权估值模型之间的直接比较：【考点】

二项式模型中的项和之间的相似之处是显而易见的。二项式模型中使用了对冲比率，因为创建的是无套利投资组合。对于看涨期权，意味着在上借入或卖空股零息债券。对于看跌期权，意味着贷款或购买股在交易的零息债券。
如果标的的值增大，那么的值也增大，因为对有正的影响。因此，看涨期权的复制策略要求在市场上涨时不断买进股票，在市场下跌时不断卖出股票。
在BSM模型理论中，这种“高买低卖”策略的总损失，在期权的整个生命周期中，和BSM模型期权在期权开始时获得的期权溢价正好相等。这个结果一定是这样的；否则就会出现套利利润。由于交易成本实际上不是零，频繁地通过买卖标的进行再平衡，给对冲者增加了巨大的成本。此外，市场经常可以不连续地移动，这与BSM模型假设的价格连续移动相反，从而允许连续的对冲调整。因此，在现实中，对冲是不完美的。例如，如果一家公司宣布合并，那么该公司的股价可能会大幅上涨，这与BSM模型的假设相反。
此外，不可能提前知道波动率。由于这些原因，期权通常比BSM模型理论预测的要贵。为了继续使用BSM模型，公式中使用的波动率参数通常比市场参与者实际预期的股票波动率更高。但是现在忽略这一点，因为关注的是模型的机制。
注意，项还有一个重要的解释。它是衡量看涨期权到期概率的唯一方法，相应的，是看跌期权到期的概率。具体地说，是基于风险中性概率的概率，而不是个人对投资概率的估计，也不是市场的估计。即基于唯一的风险中性概率。
5.3 BSM的套利利润

利差收益(carry benefit)包括股票期权的股息、外汇期权的外币利率和债券期权的息票支付。对于其他标的工具而言，有一些利差成本很容易被视为负利差收益，比如农产品的储存和保险成本。由于BSM模型是在连续时间中建立的，通常将这些收益建模为连续收益，这里一般表示为或简单的。利差调整后的BSM模型为：

...... (12)
...... (13)

看跌期权的价值也可以根据利差收益调整后的看跌期权平价来计算：

还可以列出：

现值项仍然是。利差收益会降低标的资产的预期未来价值。同样，经过利差调整的BSM模型可以描述为有两个组成部分，一个股票组成部分和一个债券组成部分。对于看涨期权，股票成分为，债券成分再次为。对于看跌期权，股票成分是，而债券成分又是。虽然和都因附带收益而减少，但一般的估值方法保持不变。利差收益的增加会降低看涨期权的价值，提高看跌期权的价值。

项继续被解释为看涨期权的风险中性概率。利差收益的存在会降低和，因此随着利差收益的增加，持有看涨期权的概率会下降。这个风险中性概率是描述BSM模型如何用于各种评估任务的一个重要元素。
对于股票期权，，即连续复利股息收益率。股利收益率BSM模型可以再次解释为股票和零息债券的动态管理投资组合。基于上述适用于股息收益股票：

标的股票的等价数量：对于看涨是，对于看跌是
买入债券的等价数量：对于看涨是，对于看跌是

对于有股息的股票，套利者可以在做多股票时获得股息支付的好处，而在做空股票时必须支付股息。因此，持仓做多的负担减轻了。股息通过减少买入看涨股票的数量和增加卖空看跌股票的数量来影响动态管理的投资组合。更高的股息将降低的价值，从而降低。此外，更高的股息将减少为看涨而做空的债券数量，并增加为看跌而买入的债券数量。
对于外汇期权，，即连续复合的国外无风险利率。当报汇率时，要给出每单位外币所代表的本国货币的价值。例如，日元()每单位欧元()将表示为欧元的交易价格为135或简写为135/。这就是所谓的外汇即期汇率。因此，外币欧元是用日元来表示的，在这种情况下，日元是本国货币。这是合乎逻辑的，例如，当一家日本公司希望用本国货币日元来表示其持有的欧元外汇头寸时。
对于货币期权，其标的工具是外汇即期汇率。因为外汇可以投资于外国的无风险投资工具，所以所谓的“利差收益”是指外国的利率。此外，对于货币期权，标的价格和行权价格必须以相同的货币单位报价。最后，模型中的波动率是即期汇率对数收益率的波动率。每种货币期权是指一定数量的外币，称为名义金额，这一概念类似于期权合同所涵盖的股票数量。期权的总成本是用公式价值乘以名义金额，就像用股票期权的公式价值乘以期权合同所涵盖的股份数量一样。
适用于货币的BSM模型可以描述为有两个组成部分，一个外汇组成部分和一个债券组成部分。对于看涨期权，外汇成分为，债券成分为，其中r为国内无风险利率。适用于货币的BSM调用模型就是外汇成分减去债券成分。对于看跌期权，外汇成分为，债券成分为。适用于货币的BSM看跌期权模型就是债券成分减去外汇成分。记住，标的是用本国货币来表示的。
例4：A Japanese camera exporter to Europe has contracted to receive fixed euro () amounts each quarter for his goods. The spot price of the currency pair is 135/. If the exchange rate falls to, say, 130/, then the yen will have strengthened because it will take fewer yen to buy one euro. The exporter is concerned that the yen will strengthen because in this case, his forthcoming fixed euro will buy fewer yen. Hence, the exporter is considering buying an at-the-money spot euro put option to protect against this fall; this in essence is a call on yen. The Japanese risk-free rate is 0.25% and the European risk-free rate is 1.00%. What are the underlying and exercise prices to use in the BSM model to get the euro put option value?

A. 1/135; 1/135
B. 135; 135
C. 135; 130

解析：选B。其标的是135日元/欧元的现货外汇价格。因为看跌期权是现价期权，所以行权价格等于现价。
补充：使用无风险汇率是日本汇率 0.25%，因为日元是国内货币单位的汇率报价惯例。利差利率是外币的无风险利率，也就是欧洲利率 1.00%。
5. 布莱克模型

1976年，Fischer Black引入了BSM模型方法的一个修正版本，该模型适用于标的工具的期权，如期货合约的期权（例如股票指数期货）以及远期合约的期权。后者包括基于利率的选项，如上限、下限和互换。假设期货价格也遵循几何布朗运动。Black对欧式期货期权提出了如下模型：

...... (15)
...... (16)

表示在时间到期的期货价格，表示与期货价格相关的波动率。布莱克的模型仅仅是BSM模型，在该模型中，期货合约被认为反映了套利模型。期货期权看跌期权平价可以表示为：

看跌期权平价是描述看涨期权和看跌期权价值在各种期权估价模型中的估价关系的有用工具。
Black模型可以用类似于BSM模型的方式来描述。布莱克模型有两个组成部分，一个期货组成部分和一个债券组成部分。对于看涨期权，期货成分为，债券成分再次为。布莱克看涨期权模型就是期货成分减去债券成分。对于看跌期权，期货成分为，债券成分再次为。布莱克看跌期权模型就是债券成分减去期货成分。
或者，基于布莱克模型的期货期权估值，就是简单地计算出期货价格与行权价格之差的现值。通过函数对期货价格和行权价格进行适当调整。对于看涨期权，期货价格调整，行权价格调整，得到差值。对于看跌期权，期货价格调整，行权价格调整。
6. 利率期权

对于利率期权，标的工具是一个参考利率，如3个月期伦敦银行同业拆息(Libor)。当参考利率上升时，利率看涨期权收益；当参考利率下降时，利率看跌期权收益。利率选择是许多其他工具的基础。
对于一个期限为一年的三个月期Libor看涨期权，其基础利率是一个期限为一年的远期利率协议(FRA)。这一FRA是今天观察到的，是布莱克模型中使用的基础利率。FRA的基础利率是3个月的Libor，可投资期限为12个月，到期期限为15个月。因此，在一年内，FRA利率通常会趋同于3个月即期Libor。
利率通常是预先设定的，但利息支付是在拖欠中(in arrears)支付的，这被称为预先设定，在拖欠中结算。例如，对于银行存款，利率通常在存款时设定，但利息支付是在取款时设定的。因此，存款有的期限，直到到期。因此，利率是预先设定的，但付款是在拖欠中结算的。同样，对于浮动利率贷款，利率通常是确定的，利息按这个已知的利率计息，但支付要晚一些。类似地，对于某些利率期权，利率设定时的期权到期日与支付现金时的期权结算并不对应。例如，如果根据3个月Libor，在1月15日支付5000美元的期权利率，那么5000美元的实际支付将发生在4月15日。
利率是按年计算的，但隐含的存款通常不到一年。因此，必须对应计期间的年度利率进行调整。每季度重置30/360天计数FRA的应计期为0.25(= 90/360)。如果天数是实际天数除以360 (ACT/360)，那么权责发生期可能是0.252778(= 91/360)，假设期间内有91天。通常，FRA中的应计期是基于30/360，而基于期权的应计期是合同中的实际天数除以一年中的实际天数（标识为ACT/ACT或ACT/365）。
这里的模型被称为标准市场模型(standard market model)，是布莱克期货期权估值模型的一个变体。令表示期权到期日的时间(ACT/365)，令表示基础FRA到期日的时间。标的资产的利息应计从期权到期日开始(时间 )。令表示时间0的FRA在时间到期的固定利率，其中基础利率在时间到期，所有时间以年为单位表示。假设FRA为30/360计算。例如，FRA(0,0.25,0.5) = 2%表示远期利率协议的2%固定利率，到期期限为0.25年，结算金额在0.75(= 0.25 + 0.5)年支付。令表示以年为单位的行使率，表示利率波动率。是标的FRA率中连续复合百分比变化的年化标准差。
利率期权给予期权买家在实际利率的基础上获得一定现金支付的权利。例如，利率看涨期权给予看涨买方在相关利率超过行使利率时获得一定现金支付的权利。利率看跌期权给予看跌期权买方在相关利率低于行权利率时获得一定数额现金的权利。设以年为单位表示应计期间，在标准市场模型下，利率看涨期权和看跌期权的价格可以表示为：

...... (18)
...... (19)

这里的公式给出了名义金额为1的期权的价值。在实践中，名义金额多于1，因此期权的全部成本是通过将这些公式金额乘以名义金额得到的。当然，这与计算一股股票的期权价值，然后将期权价值乘以期权合约所涵盖的股票数量是一样的。
与权责发生期的布莱克模型相比，标准市场模型需要进行调整。换句话说，如或执行率，如前面给出的公式，是按年计算的，就像一般的利率一样。实际的期权溢价必须在应计期间进行调整。在考虑了这一调整后，这个模型看起来与布莱克模型非常相似，但有以下差异：

贴现因子不适用于期权到期日，而适用于FRA的到期日。将此期限表示为以强调该期权的逾期结算性质
标的不是期货价格，而是利率，特别是基于远期利率协议或的远期利率
行使价实际上是一种利率，反映的是利率，而不是价格
计算和时采用期权到期日
远期利率和执行利率都应该以小数形式表示，而不是百分比，例如0.02而不是2.0。或者，如果以百分数表示，则名义金额调整可以除以100

标准市场模型可以简单地描述为到期时预期期权收益的现值。可以用和表示买入期权的标准市场模型，其中：

这里的现值项就是。再次注意，从时间贴现，即现金流在FRA上结算的时间。有几个有趣和有用的组合可以用利率期权创建：

如果选择的执行利率等于当前的FRA利率，那么做多一个利率看涨期权和做空一个利率看跌期权就相当于一个浮动收、固定付的FRA
如果再次选择执行利率，使其等于当前的FRA利率，那么做多一个利率看跌期权和做空一个利率看涨期权就相当于一个固定收、浮动付的FRA。请注意，FRA是利率互换的基石
利率上限是一种投资组合或利率看涨期权，其中第一个标的的到期日对应于第二个期权的到期日，以此类推。基础利率看涨期权被称为caplet。因此，一套浮动利率贷款还款可以用包含一系列利率看涨期权的利率上限中的多头头寸进行对冲
利率下限是一种投资组合或一条利率看跌期权，其中第一个标的的到期日与第二个期权的到期日相对应，以此类推。基础利率看跌期权被称为floorlet。因此，浮动利率债券投资或任何其他浮动利率贷款情况都可以用包含一系列利率看跌期权的利率下限进行对冲
应用看跌看涨期权平价，做多利率上限，做空利率下限，并以互换利率为行权价格，相当于一个浮动收、固定付的互换。在结算日，当基础利率高于strike，上限和互换都支付给一方。当基础利率低于结算日的行权价时，交易方必须在卖空底价上进行支付，就像互换交易一样。相反，做多利率下限，做空利率上限，导致一方在基础利率高于strike的情况下支付，而在基础利率低于strike的情况下收到，就像浮动支付，固定收益互换的情况一样
如果执行率被设置为等于互换率，那么上限的值必须等于开始时的下限值。当利率互换开始时，它的当前价值为零，被称为在市场上的互换。如果选择了一个上限值等于下限值的执行率，那么做多上限和做空下限的初始成本也是零。这发生在上限和下限strike等于互换利率

例5：Suppose you are a speculative investor in Singapore. On 15 May, you anticipate that some regulatory changes will be enacted, and you want to profit from this forecast. On 15 June, you intend to borrow 10,000,000 Singapore dollars to fund the purchase of an asset, which you expect to resell at a profit three months after purchase, say on 15 September. The current three-month Sibor (that is, Singapore Libor) is 0.55%. The appropriate FRA rate over the period of 15 June to 15 September is currently 0.68%. You are concerned that rates will rise, so you want to hedge your borrowing risk by purchasing an interest rate call option with an exercise rate of 0.60%.
(1) In using the Black model to value this interest rate call option, what would the underlying rate be?

A. 0.55%
B. 0.68%
C. 0.60%

解析：选B。使用布莱克模型时，远期或期货价格被用作标的价格。不同于以现货价格为基础的BSM模型。
(2) The discount factor used in pricing this option would be over what period of time?

A. 15 May–15 June
B. 15 June–15 September
C. 15 May–15 September

解析：选C。将在5月15日对期权进行定价。6月15日到期、标的为3个月Sibor的期权将在6月15日确定偿付，但将在9月15日支付。因此，预期付款必须从9月15日折现至5月15日。
7. 互换期权

互换期权或互换只是互换中的一个期权。它赋予持有人权利，但不是义务，以预先商定的互换利率即行使利率进入互换。利率互换可以是固定收入，浮动收入或浮动收入，固定收入。付款人互换是一种固定支付，浮动接收的互换期权。收款人互换是一种接受固定收入，浮动薪酬的互换期权。请注意，通常会避免使用看涨和看跌这两个术语，因为可能会混淆基础的性质。还请注意，这个术语关注的是固定互换利率。
付款人互换买方希望固定利率在互换到期前上升。当执行时，付款人互换买方能够以预定的执行率进入一个固定付款、浮动接收互换。然后，买方可以立即按照当前的固定互换利率，进入市场上的固定收益浮动支付互换。这两个互换的浮动阶段将抵消互换，给支付互换的买方留下当前固定互换利率和互换执行利率之间的差额年金。因此，互换估值将反映年金。
互换付款是预先设定的，以拖欠的方式结算。设互换重置日期表示为。令表示从互换到期开始的固定互换利率，表示为之前的，以年为基准报价；表示从时间开始的执行利率，同样以年为基准报价。和前面一样，假设名义金额为1。
因为互换利率是以年度为基准的，所以让表示权责发生期。最后，需要一些不确定性。设表示远期互换利率的波动性。更准确地说，表示远期互换利率连续复合百分比变化的年化标准差。
本文提出的互换模型是对布莱克模型的修正。设与远期互换支付相匹配的年金的现值表示为：

有时被称为年金折现系数。它适用于此，因为互换会产生一系列到期时市场互换利率与所选执行利率之差的等额支付。因此，支付者互换估值模型为：

...... (20)

接收方互换估值模型为：

...... (21)

其中：

正如利率期权所指出的，实际溢价需要按名义金额进行调整。再一次，可以看到与布莱克模型的相似之处。互换模型需要两种调整，一种针对应计期间，另一种针对年金的现值。在考虑了这些调整之后，这个模型看起来与布莱克模型非常相似，但有一些重要的细微差别：

贴现因子不存在。不是单一偿付，而是一系列偿付。因此，年金的现值嵌入了与期权相关的贴现因子
标的价格不是期货价格，而是远期利率互换的固定利率
行使价格实际上表示为利率
远期互换利率和执行利率都应该以小数形式表示，而不是百分比，例如0.02而不是2.0

互换模型可以简单地描述为期权到期时预期收益的现值。将付款人交换模型的值表示为：

接收方互换模型值为：

其中：

现值项就是。由于年金期限内嵌入了互换的折现，预期互换值就是当前无风险利率累计的当前互换值。
或者，互换模型可以描述为具有两个分量，一个互换分量和一个债券分量。

支付方互换
- 互换分量
- 债券分量
- 付款方互换模型的值 = 互换分量 - 债券分量
接收方交换
- 互换分量
- 债券分量
- 接收方互换模型的值 = 债券分量 - 互换分量

在相同的执行利率下，做多一个利率上限和做空一个利率下限等于一个浮动收、固定付利率互换。同样，在相同的执行利率下，做空利率上限和做多利率下限，相当于一种浮动收固定利率互换。交换也有等价关系。以类似的方式，用相同的执行率做多一个接收方互换和做空一个支付方互换，相当于进入一个固定接收、浮动支付的远期互换。在相同的执行率下，做多付款人互换和做空接收人互换，相当于进入了一个接收浮动、固定支付远期互换。请注意，如果选择的行使率使接收方和付款方互换具有相同的价值，那么行使率等于市场远期互换率。因此，看跌看涨期权的平价关系对估值很重要。
此外，做多可赎回固定利率债券可以被视为做多直接固定利率债券，做空接收方互换。接收人互换给予买方接收固定利率的权利。因此，当这种权利在低利率环境下行使时，卖方将不得不支付固定利率。回顾债券发行者有权赎回债券。如果债券发行者出售了一份具有类似条款的接收方互换，那么该债券发行者实际上已将可赎回债券转换为普通债券。债券发行者现在将支付标的互换的固定利率，而收到的浮动利率将被债券再融资时产生的浮动利率贷款抵消。当利率下降和互换执行时，接收方互换买方将受益。因此，嵌入式看涨特性类似于接收方互换。
8. 希腊字母与隐含波动率

这里考察的测量方法被称为希腊字母，包括delta, gamma, theta, vega和rho。试图确定在适当的参数中，一个给定的小变化会使一个特定的投资组合发生多大的变化。这些措施有时被称为静态风险衡量(static risk measure)，因为它们捕获了一个影响期权价值的因素的运动的期权价值的运动，而保持所有其他因素不变。这里重点是欧式股票期权，其基础股票假定支付股息收益率。对于非派息股票，。
8.1 Delta

Delta 定义为，在保持其他条件不变的情况下，某一特定工具对于股票价值的微小变化的变化。因此，做多1股股票的为+1.0，做空1股股票的为-1.0。期权的概念与此类似，是指在保持其他条件不变的情况下，标的股票的价值在给定的微小变化下，期权价值的变化。看涨期权和看跌期权的分别为：

...... (22)
...... (23)

是一个关于的简单函数。期权的表示的是，在保持其他条件不变的情况下，在给定的股票变化情况下，期权会发生多少变化。因此，是一个静态风险度量。它没有说明这种特定变化的可能性有多大。回想一下，是从标准正态分布的累积分布函数中得到的值。值的范围在0到1之间。因此，看涨的范围为0和，而看跌的范围为和0。随着股票价格的上涨，看涨期权的价值会更大，的价值会向1靠拢。随着股票价格的下跌，看涨期权的价值会越来越低，的价值会趋向于零。当期权接近到期日时，如果不在价内，会向0漂移，如果在价内，会向1漂移。随着股价和到期日的变化，值也在变化。
期权的对冲是在期权规定的数量的基础股票上建立头寸的过程，这样就不会受到股价非常小的上下波动的影响。因此，要执行单一期权对冲，首先计算期权，然后买进或卖出单位的股票。在实践中，一个人很少只有一个期权头寸要管理。因此，一般来说，对冲指的是通过适当地改变投资组合中的头寸来操纵潜在的投资组合。中性投资组合指的是将投资组合的增量一直设定为零。理论上，中性投资组合的价值不会因股票工具的微小变化而改变。令表示对冲工具的单位数，表示对冲工具的，可以是标的股票、看涨期权或看跌期权。令投资组合为，中性表示组合。最优对冲单位数为：

注意，如果是负的，那么人们必须做空对冲工具，如果是正的，那么人们必须做多对冲工具。显然，如果投资组合是期权，而对冲工具是股票，那么通过买卖股票来抵消投资组合的头寸。例如，如果投资组合包含100,000股股票，每股10美元，那么投资组合为100,000。股票对冲工具的值是+1。因此，最优对冲单位数为100,000(=100,000/1)或卖空100,000股。或者，如果投资组合的值为5000，而值为0.5的特别看涨期权被用作对冲工具，那么要得到中性投资组合，必须卖出10,000个看涨期权(=5000 /0.5)。或者，如果一个期权投资组合的值为-1,500，那么一个人必须购买1,500股股票才能成为中性[= -(- 1,500)/1]。如果对冲工具是股票，那么每股值是+1。
对期权的最后一种解释与预测期权价格的变化有关。令，和表示看涨、看跌和股价的一些新值。基于近似方法，期权价格的变化可以用近似：

下图是BSM模型的看涨值和基于近似的看涨值：(S = 100 = X, r = 5%, σ = 30%, δ = 0)

若股票非常小的变化，近似相当准确。但随着股票的变化增加，估计误差也增加。无论是下跌还是上涨，近似都是偏低的。对冲是不完美的，而且随着潜在价值离其初始价值100的距离越来越远，情况会变得更糟。由上图可知，BSM模型假设连续交易是避免对冲风险的必要条件。这种对冲风险与这两行之间的差值以及标的价格发生巨大变化的程度有关。
例6：Suppose we know S = 100, X = 100, r = 5%, T = 1.0, σ = 30%, and δ = 5%. We have a short position in put options on 10,000 shares of stock. Based on this information, we note Delta_c = 0.532, and Delta_p = 0.419. Assume each stock option contract is for one share of stock. The appropriate delta hedge, assuming the hedging instrument is stock, is executed by which of the following transactions? Select the closest answer.

A. Buy 5,320 shares of stock.
B. Short sell 4,190 shares of stock.
C. Buy 4,190 shares of stock.

解析：选B。初始为看跌期权的空头头寸，因此要做一个反向的，故要卖出股票。
补充：若用看涨期权作为对冲工具，则要卖出 0.419 / 0.532 * 10000 = 7876 的看涨
8.2 Gamma

是一个很好的近似值，可以很好地反映股票价格的微小变化。较大的股价变化需要更好的准确性。Gamma 的定义是在保持其他条件不变的情况下，一种特定工具的值的变化对于股票价值的一个特定的小变化。期权也被类似地定义为在保持其他一切不变的情况下，对于股票价值的一个给定的小变化，在给定的期权的变化。期权是一种衡量与股票价格相关的期权价格曲率的方法。因此，一股股票的多头或空头头寸的值为零，因为一股股票的值永不改变。一只股票总是与自己一个一个地移动。因此，它的值总是+1，当然，做空股票的值是-1。看涨期权和看跌期权的值是相同的，可以表示为：

...... (24)

其中为标准正态概率密度函数，与累积正态分布函数相区别。
（买入期权(看涨或看跌)总是会增加净伽马值。）

总是非负的。值在接近钱的地方最大。如果期权是深入或深出价内(deep in / deep out of the money)，对于股价的微小变化，期权的值不会有太大的变化。而且，随着股价的变化和到期日的变化，也在变化。

测量的是股票变化时的变化率。近似于中对期权的估计误差，因为期权价格相对于股票是非线性的，而是线性近似。因此，是一种风险度量；具体来说，度量非线性风险，或者一旦投资组合是中性的风险。中性投资组合意味着。例如，可以首先将控制到一个可接受的水平，然后将作为第二步进行中和。这种对冲方法是可行的，因为期权有，而股票没有。因此，为了修改，必须在投资组合中包括额外的期权交易。一旦修正后的投资组合，包括任何新的期权交易，有了理想的水平，那么交易员就可以在第二步中得到理想的投资组合。为了改变投资组合的值，交易员只需买卖股票。因为股票有一个正的，但是零的，投资组合的可以被带到它想要的水平，而不影响投资组合的。

的最后一种解释与改进期权价格的预测变化有关。令，和表示看涨、看跌和股价的一些新值。再次基于近似方法，期权价格的变化可以通过近似：

；

下图基于BSM模型的看涨值和两种近似值：(S = 100 = X, r = 5%, σ = 30%, δ = 0)

基于近似：

对于股票的非常小的变化，近似和近似是相当准确的。如果股票价值从100上升到150，看涨线再次显著高于估计线，但低于估计线。估计线明显更接近BSM模型看涨值。即使对于股票的相当大的变化，近似是准确的。随着股价变化的增加，估计误差也会增加。近似在下跌时偏低，而在上涨时偏高。因此，当估计基础变化时，看涨价格如何变化时，与单独使用近似相比，近似是一种改进。
如果BSM模型的假设成立，那么在管理期权头寸方面就没有风险。然而，实际上，股票价格经常上涨，而不是连续平稳地移动，这就产生了伽马风险(gamma risk)。衡量的是在对冲期权头寸时股价上涨的风险，从而突然失去了对冲。
8.3 Theta

Theta 定义为在日历时间内，在保持其他一切不变的情况下，一个给定的小变化在投资组合中的变化。期权是期权时间价值在接近到期时下降的速率，的计算假设除了日历时间外没有任何变化。显然，如果日历时间过去了，那么到到期的时间就会减少。因为股票没有到期日，所以股票是0。和一样，不能通过股票交易来调整。
期权投资组合因日历时间的流逝而产生的收益或损失被称为时间衰减(time decay)。特别是对于看涨期权的头寸来说，时间的流逝往往会导致价值的重大损失。因此，拥有大量期权头寸的投资经理会仔细监测以及他们对时间衰减的暴露。时间衰减本质上是衡量期权头寸随着时间的推移而产生的利润和损失。与、是根本不同的。时间不可能倒流。时间在流逝，但重要的是要了解你的投资头寸将如何随着时间的流逝而变化。
通常情况下，。也就是说，随着日历时间的推移，到期时间减少，期权价值也减少。下图说明了期权价值与到期日的关系：(S = 100 = X, r = 5%, σ = 30%, δ = 0)

随着日历时间的推移，距离到期的时间会减少。看涨期权和看跌期权都是平价期权，如果股票不变，最终都是一文不值的。注意，期权价值下降的速度是如何随着到期日的缩短而增加的。
8.4 Vega

Vega 被定义为给定的投资组合在波动率发生给定的小变化时的变化，而其他所有变化都保持不变。维加衡量给定投资组合对波动的敏感性。期权的是正的。波动性的增加导致看涨期权和看跌期权的期权价值的增加。一个看涨期权的等于一个相似的看跌期权的。

是基于不可观测的未来波动率。虽然历史波动率可以计算出来，但对于未来波动率却没有一个客观的衡量标准。与期望值的概念相似，未来波动率是主观的。因此，衡量投资组合对期权估值模型中使用的波动性变化的敏感性。期权价值通常对波动相当敏感。在BSM的五个希腊字母中，期权的价值对波动性变化最为敏感。
在极低的波动率下，期权价值趋向于其下限。欧式看涨期权的下界为零或股票减去行权价格的现值，两者取较大。欧式看跌期权的下界为零或行权价格的现值减去股票，两者以较大的为准。下图显示了与波动率相关的期权价值：(S = 100 = X, r = 5%, T = 1, δ = 0)

在管理期权投资组合中非常重要，因为期权价值对波动性变化非常敏感。当期权接近或接近钱的时候，是高的。波动性通常只能用其他期权进行对冲，而波动性本身可能相当不稳定。波动率有时被认为是一个单独的资产类别或一个单独的风险因素。由于波动性相当奇特且具有潜在危险，因此需要对其敞口进行管理，要记住，如果波动性是损失的来源，风险管理人员、董事会成员和客户可能不会理解损失。
8.5 Rho

Rho 定义为给定的投资组合的变化对于给定的无风险利率的小变化，度量了投资组合对无风险利率的敏感性。
看涨的是正的。从直观上看，购买期权可以避免购买股票所涉及的融资成本。换句话说，购买看涨期权可以让投资者从本应用于购买股票的资金中赚取利息。利率越高，赎回价值越高。
看跌的是负的。从直观上看，出售股票的选择权推迟了从出售所得中赚取利息的机会。例如，购买看跌期权而不是出售股票，剥夺了投资者从出售股票的收益中获得的潜在利益。利率越高，价值越低。
当利率为零时，平价期权的看涨期权和看跌期权价值相同。随着利率的上升，看涨期权和看跌期权之间的差异会增加，如下图所示：(S = 100 = X, r = 5%, T = 1, δ = 0)

与波动率变化和股票变化相比，利率变化对期权价格的影响相对较小。因此，利率的影响通常不是主要问题。
8.6 隐含波动率

对于大多数期权，其价值对波动特别敏感。然而，与标的价格不同的是，波动率在市场上并不是一个可观察到的价值。波动率可以，而且经常是基于历史数据样本来估计的。对于3个月期权，可以回顾过去3个月的情况，并计算实际的历史股票波动率。然后可以用这个数字来估计未来三个月的波动率。而BSM模型中的波动率参数是未来波动率。历史对未来的指引是非常脆弱的，因此，根据未来实际经历的波动，期权可能会被错误定价。不同的投资者对未来的波动会有不同的看法。预测最准确的人对期权价值的评估也最准确。
很像债券的到期收益率，波动率可以从期权价格推断出来。这种推断出的波动率称为隐含波动率(implied volatility)。因此，BSM模型的一个重要用途是倒置模型和估计隐含波动率。其主要优势在于隐含波动率提供了有关未来感知不确定性的信息，从而能够了解投资者对标的波动率和期权需求的集体看法。如果对期权的需求增加，而无套利方法不能完全反映在市场价格中（例如，由于交易成本的原因），那么购买期权的偏好将推动期权价格上涨，因此，观察到的隐含波动率。这类信息对期权交易者来说是很有价值的。
BSM模型的一个假设是，所有投资者都同意波动率的价值，而且这个波动率是非随机的。请注意，原始的BSM模型假设基础工具波动率是恒定的。也就是说，当计算期权价值时，假设了一个波动率数字，比如30%。在实践中，对于不同的行权价格观察不同的隐含波动率是很常见的，对于相同条款的看涨和看跌期权观察不同的隐含波动率也是很常见的。隐含波动率也随到期日的时间和行使价格而变化。相对于到期日的隐含波动率被称为波动率的期限结构，而相对于行权价格的隐含波动率则被称为波动率的微笑或有时倾斜，这取决于其特定的形状。通常，构造一个与到期日和行权价格有关的隐含波动率的三维图，即波动率曲面(volatility surface)。如果BSM模型的假设是正确的，那么人们应该会发现波动率表面是平坦的。
隐含波动率在整个日历时间内也不是恒定的。随着隐含波动率的增加，市场参与者传递的是风险的市场价格增加。例如，如果看跌期权的隐含波动率增加，用看跌期权购买下跌保护的成本就会更高。因此，对冲的市场价格正在上涨。有了指数期权，就产生了各种波动率指数，这些指数衡量投资者对市场波动率的集体看法。投资者现在可以交易各种波动指数的期货和期权，以管理他们在其他期权中的vega敞口。
一种波动率指数是芝加哥期权交易所标普500波动率指数，简称vix。波动率指数以百分数报价，目的是接近标准普尔500指数在未来30天内的隐含波动率。波动率指数经常被称为恐惧指数，因为它被视为市场不确定性的衡量指标。因此，VIX指数的上升被视为投资者的不确定性增大。标普500隐含波动率不是恒定的，它经历了波动率指数低和波动率指数高的时期。在2008年的全球金融危机中，VIX指数处于极高水平，表明股市存在巨大的恐惧和不确定性。隐含波动率既反映了对未来波动率的信念，也反映了对降低风险产品(如期权)的偏好。因此，在危机期间，更高的隐含波动率既反映了更高的预期未来波动率，也反映了更倾向于买入期权而非卖出期权。
隐含波动率在期权交易中有多种用途。在管理期权投资组合时，对隐含波动率的理解是必要的。这篇文章解释了期权的估值是作为标的价值、行权价格、到期日、无风险利率、标的支付的股息或其他利益，以及标的波动率的函数。注意，这些参数中的每一个都是可以观察到的，除了在期权期限内潜在的波动。这种波动率必须以某种方式来估计，例如通过计算历史波动率。但正如前面所提到的，历史的波动需要回顾过去。然而，世界各地的交易所有大量的流动性期权交易，因此可以观察到各种各样的期权价格。因为知道价格和除波动率之外的所有参数，所以可以反出期权估值模型所需的波动率来得到已知价格。这个波动率就是隐含波动率。
因此，隐含波动率可以解释为市场如何对期权进行估值的观点。在期权市场中，参与者使用波动率作为期权报价的媒介。价格是通过使用带有报价波动率的商定模型来计算的。例如，与其将某一看涨期权报价为14.23，不如将其报价为30.00，其中30.00表示基于14.23期权价格的隐含波动率的百分比。隐含波动率和期权价格之间存在一对一的关系。
通过隐含波动率(或简单波动率)而不是价格报价的好处在于，它允许波动率以其自身的权利进行交易。波动率是期权定价中的“猜测因素(guess factor)”。所有其他输入（标的价值、行使价格、到期日、无风险利率和股息收益率）都是商定的。在执行价格和到期日之间，波动率的数量级通常相同。这意味着交易员可以比较两种期权的价值，这两种期权可能有明显不同的行权价格和到期日，因此，在一个共同的衡量单位，特别是隐含波动率，价格也会有明显不同。
（隐含波动率可以用来评估不同期权的相对价值，中和其货币性和到期时间效应。此外，隐含波动率有助于随着时间的推移重新评估现有头寸的价值。）
监管机构、银行、合规官员和大多数期权交易员使用隐含波动率来传达与期权投资组合相关的信息。这是因为隐含波动率，加上标准定价模型，给出了市场共识(market consensus)估值，就像其他资产使用市场价格估值一样。
综上所述，只要所有市场参与者都同意标的期权模型以及其他参数的计算方式，那么隐含波动率就可以作为一种报价机制。很难对不同的期权价格进行概念化。例如，如果同一只股票的两个看涨期权有不同的价格，但其中一个到期日较长，行权价格较低，而另一个到期日较短，行权价格较高，表面上看不出来哪一个价格较高。但如果一种选择意味着比另一种更高的波动率，在考虑了时间和执行的影响后，一种期权比另一种期权更昂贵。因此，将报价转换为隐含波动率，更容易理解各种风险暴露的当前市场价格。
（完）
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