资产定价05

1. 模型直观描述

有关文件综述见知乎博客前景理论与处置效应
lottery的例子不用多说了，传统意义上utility函数是concave+单增的，但prospect theory考虑了consumption为负时utility函数应为convex+单增。即投资者盈利一点无所谓，不想止盈，但损失一小点时utility下降很多，马上想止损。

此处就是gain，则为loss
2. 变量

: 第种回报，正的话就是gain，负的话就是loss

: 价值函数value function，其中，（Kahneman &Tversky, 2000)实测结果显示, 其中的加入让函数在0点处不可导、出现kink

：对应的权重
3. 公式

对于不同结果，有最终的evaluation为

4. 应用

4.1. 解释excess volatility puzzle

而不是相等
可能因为除息时产生波动，若未来价格上涨，则投资者风险厌恶程度则下降(u&#39;&#39;(x)下降，此时utility function接近于一次导为0，因此不论涨跌我的utility都不怎么变，所以在止盈点B处我能承受更大范围的损失，风险厌恶程度不高)，则在该B点改变股价、我的期望回报的变化相对A点是下降的，且期望回报波动率下降，则当前价格相对而言就要上涨（以保证除息后未来回报率能相对下降）。此时左侧不应大过右侧。

当然，大多数情况除息还是会让未来价格下降，则对应的风险厌恶程度上升、难以承受一丁点损失，期望回报上升、期望回报波动率上升，此时左式大于右式，这就解释了excess volatility
4.2. 解释return predictability puzzle

，此处算出来的为240，远大于survey的结果10
同4.1，除息->股价上涨(下降)，也就是A到B(B到A)->风险厌恶程度下降(上涨)->预期回报下降(上涨)、波动率下降(上涨)，因此若要求左式等于右式，则必须很大
4.3. 解释equity premium puzzle

高波动率(A点)对应着低x，因此risk aversion level高，因此右侧变大，故左侧premium最大值相对变大，故仍然满足；而在之前的语境下，是不随着波动率改变的，因此右侧变大幅度小于左侧变大幅度，则出现equity premium puzzle。
5. theory缺陷：处置效应

prospect theory 不能解释处置效应(disposition effect)，即：交易数据显示，投资者的卖出倾向在零收益率处跳跃，但在较大的亏损范围内大致保持不变，而在较大的收益范围内呈上升或连续性趋势。因此亏损部分不能只是直线，而应该是convex的二次函数。基于此，有
6. Cumulative Prospect Theory

6.1. 公式

对不同收入和对应概率序列，evaluation function =
跟之前一致，有

定义函数

其中，根据论文结果, m是回报小于0的日子，n是回报大于0的日子。则有，

当然在极值处，，因此极值权重要比出现的概率要大的
6.2. 参数估算

比如对于股票，取过去1年日频股价为样本，x为回报率，p对该回报率出现的样本内概率，因此可以算出w
6.3. TK因子

根据Tversky & Kahneman，可以设计出TK因子，这里以过去60天为样本计算回报率的权重，此处默认回报率分布是Uniform distribution, 已经从小到大排好了

0处为拐点，这里不计算。R语言代码如下
gamma<-0.61
delta<-0.69
alpha<-0.88
lambda<-2.25

ret = seq(from=-0.1,to=0.1,length.out=61) # 假设return都是uniform分布,ret~U(-0.1,0.1)

w_plus = function(x){
  return(x^gamma/((x^gamma+(1-x)^gamma)^(1/gamma)))
}
w_minus = function(x){
  return(x^delta/((x^delta+(1-x)^delta)^(1/delta)))
}
v = function(x){
  return(ifelse(x>=0,x^alpha,-lambda*(-x)^alpha))
}

seq.pi = rep(0,61)
for (i in -30:30){
  if (i == 0){
seq.pi[i+31] = NA
  } else if (i == -30){
seq.pi[i+31] = w_minus((i+30+1)/60)
  } else if (i < 0){
seq.pi[i+31] = w_minus((i+30+1)/60) - w_minus((i+30)/60)
  } else if (i == 30){
seq.pi[i+31] = w_plus((i+30+1)/60)
  } else if (i < 30){
seq.pi[i+31] = w_plus((30-i+1)/60) - w_plus((30-i)/60)
  }
}

TK.seq = seq.pi * ret
plot(ret,TK.seq)
(TK = sum(TK.seq,na.rm=T))
# [1] -0.007765184

在这边，高TK因子意味着return高，即股票市场估值存在溢价，因此prospect investor现在正在推高价格，因此在prospect investor主导的市场下，未来股票价格势必下降、回到正常水平，因此股票回报率应该下降。
6.3. Modified TK因子

此处仍然假设return都是Uniform分布

其中定值 penalize historical data，让近期数据更显著
7. Mean-Variance Investor v.s. Prospect Theory Investor

众所周知，CAPM对应的efficient frontier和capital allocation (market) line都是对Mean-Variance Investor生效的，portfolio永远是最大Sharpe值的；而Prospect Theory Investor的权重计算方式使其porfolio在CAL下面。只管来讲，也就是prospect investor不会持有tangency portfolio，而是会给其认为有价值的股票多配权重，因此保持方差一致、其持有的portfolio的回报自然会下降。我们就来证明一下，即
求证：
在上述市场下，given same variance of return, prospect investor always choose portfolio with lower expected return, compared to mean-variance investor

证明：
7.1. 符号

, weight of n assets in tangency portfolio

, weight of n assets in prospective theory portfolio

, the weight-get-reduced part if stock is not prospective/attrative

, expected return of n assets

, risk free rate

, covariance matrix of n assets,

, risk reversion level for every investor
7.2. Model

这里就先写过程，模型在最后放出：
(1) prospect investor所持有组合为

含有mean-variance investor和prospect investor的市场的投资组合为

因此

(2) 而根据CAPM和tangency portfolio，下角标都是t,

解为，考虑risk aversion，则为
(3)-(a) 因此根据(1),(2)，有

对于market portfolio，则有权重向量，有

这里左右都是向量形式，而对每一个asset，也都是满足等式的，因此对asset ，有

这里更像是股票在市场中的比例，而不只是单独的权重
(3)-(b) 在这边为了简约表达，记

很明显，这里构造的目的就是为了与回归方程挂钩，即

因此(3)-(a)中market portfolio记为,

自然而然，记

其中对的解读为，

因此(3)-(a)中每个asset满足

(4) 因此根据(3)有

此处，

这边记
因此上式化作

综上所述

Theorem
在这种混合两种投资者的市场体系下，对于asset ，有

注意，我们写，但如果每个资产收益相互无关，即 for ,则

则Theorem可进一步化简，为

记, 为单增函数，比如Habit Formation model，,
则随着TK因子增大，变小，因此在不变下，投资组合收益必然减小，因此不再是tangent portfolio。得证prospect investor always choose portfolio below tangent portfolio in the Return-Deviation graph .

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