matlab中值得注意的FFT知识点

整理一下需要注意的FFT知识点，主要来源：https://blog.csdn.net/czyt1988/article/details/84995295

FFT公式

Y = fft(signal,N)

其中signal为时域信号，N为FFT长度。当N大于signal长度，则要补零到N个点，当N小于signal长度，就截取前N个点。注意，N一般设置为2的幂次方，以便改善FFT性能。可采用nextpow2函数求N的值

N = 2^nextpow2(length(signal));

FFT的结果Y是一个N个值的复数，满足以下规律：

第0和N/2的两个值虚数部分为0，是对称的直流分量。
下标为i和N-i的两个复数是共轭的，所以有用的信息储存在0到N/2+1个值中。

频谱分辨率

$\Delta f=\frac{fs}{N}$

其中fs是采样率，N是FFT点数。N个点中每个点的分辨率均为 $\Delta f$ 。则N个点对应的频段向量 $fre=(1:N)*\Delta f$ 。

直流分量

直流信号代表与基准0的偏移量。

FFT后的复数模-幅度

第一个点（i=0）和最后一个点的模（i=N/2）除以N
其余点的模除以N/2

原因

这是因为傅里叶级数对应时域幅值，其中已经包含了1/N项，而fourier变换中没有该系数，所以，进行完FFT变换后需除以N/2才能与时域对应上。（这里还不是很清楚）

$F(n)= \sum_{i=0}^{N-1}{x_ie^{ \frac{-2\pi j}{N}ni}}$

全世界绝大部分的FFT算法计算出来后都需要进行幅度的转换的，为何要这样设计，因为傅里叶变换在很多场合是不需要求幅度的，而只需要分贝就可以，因此，如果傅里叶变换做了乘以2除以n的处理反而在许多场合是多余的，就像求距离，好多情况只需要 $x^2 + y ^2$ 就可以了，并不需要 $\sqrt{ {x^2} + {y^2}}$
幅值根据需求有不同需求，具体见下节

幅度谱，幅值谱？Magnitude，Amplitude？

幅值 Amplitude
幅值就是对于波形的幅值来说的，上面一节说的转换就是把fft计算的结果转化为幅值，英文叫Amplitude
在工程中还经常看到分贝纵坐标的频谱，带分贝的频谱，使用分贝数的好处是，用较小的坐标可以描述很宽的范围。工程上会取20log(Amplitude)转变为分贝。
幅值第n(其中n!=1)点处的fft计算的结果是复数a+bi，模值A=sqrt(a2+b2)，那么实际信号的幅值是2*A/N;
当n=0时(0Hz)，也就是第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍，实际信号的幅值是A/N，注意N是采样点而不是进行FFT的点数
幅度 Magnitude
若对fft的结果不做任何处理，直接取模，那么这个值叫幅度，英文上叫Magnitude，

于是对fft计算的复数结果，其实数和虚数对应如下：

名称	计算公式
幅度(Magnitude)	$\sqrt{Re^2+Im^2}$
幅值(Amplitude)	$i=(0,\frac{n}{2}) ,A=\frac{\sqrt{Re^2+Im^2}}{n};otherwise, A=\frac{2\sqrt{Re^2+Im^2}}{n}$
dB	$20log(Amplitude)$

根据这个表，就可以很明白FFT之后需要进行什么样的处理了。

其实还有：

截断加窗问题
加窗频谱幅值修正问题